SUR LA RÉSOLUTION

LiQIlATION DU CINQUIÈME DEGRi,

Par m. Léopold KRONECKER.

Extrait d'une IjCttre adressée à M. Hebmite.

fierlio, lo 6 juin i858.

C'est avec le plus vif intérêt que j'ai lu votre excellent Mémoire sur la résolution des équations du cinquième degré par les fonctions elliptiques, intérêt qui s'est encore accru, s'il est possible, lorsque j'ai vu que dans les recherches que j'avais entreprises autrefois sur le même sujet, je me suis rencontré avec vous sur plusieurs points. Ea faisant ce travail il y a deux ans, j'avais communiqué à mon ami M. Kummer les principes desquels j'étais parti et les résultats qui en découlaient ; mais je ne voulais rien publier sur cette matière avant que j'eusse obtenu des résultats plus généraux. Bien que je ne sois pas encore parvenu à tout ce que je désirais, je crois pourtant que la nouvelle méthode de résoudre le problème du cinquième degré présente en elle-même assez d'intérêt pour que j'ose vous en entretenir.

C'est le sujet du petit Mémoire ci-joint (i) qui m'a conduit à présumer que les équations dont dépend la division de certaines fonctions transcend/antes, suffisent à résoudre des équations générales douées de certaines propriétés correspondantes du nombre de celles que j'ai désignées parle nom d'affections. En abordant cette question, beaucoup trop difficile pour

( ' ) Voyez le$ Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Berlin^ séancedu 22 avril i858. H. 4

être traitée dans toute sa généralité, j'ai commencé par rechercher le cas le plus simple, savoir cehii qui se rattache à la division des fonctions elliptiques en cinq parties égales. Pour vérifier dans ce cas particulier le résultat dont j'avais trouvé par induction la forme à priori, il se présente une méthode sûre fondée sur la réduction de M. Jerrard, dont je me suis servi d'abord. Mais si Ton envisage la question au point de vue général où je me suis placé, on reconnaît que cette méthode est indirecte. Persuadé d'ailleurs qu'il faut abandonner entièrement la méthode de M, Jerrard si l'on veut passer aux cas supérieurs, je me suis occupé encore à chercher une manière plus directe de résoudre les équations du cinquième degré, sans faire aucune réduction préalable des coefficients. Et en effet j'ai réussi à trouver la résolution que je désirais, à l'aide de principes qui s'appliquent également à des problèmes ultérieurs, qui cependant ne m'ont ])as encore fourni jusqu'à présent la solution complète de ces derniers. Occupé depuis longtemps de questions relatives à la théorie des nombres, je n'ai pu poursuivre les recherches algébriques dont je viens de vous parler; mais j'espère revenir dans quelque temps à ces problèmes intéressants et en compléter la solution, à moins que cela ne soit au-dessus de mes forces.

Maintenant pour revenir au problème que vous avez résolu avec tant d'élégance, désignons par Xo^x^^aozj x^y ^a^ les racines d'une équation quelconque du cinquième degré : X = o. Puis faisons

J [^ J «^05 ^il ^%J -^S? ^4)

i> étant une quantité variable. Enfin soit

pour les cinq valeurs de l'indice r = 0,1, a, 3, 4. Cela posé, toutes les six* fonctions/ sont cycliques par rapport aux quantités ;r, c'est-à-dire la fonction y'(p, jCq, a:,, jTa, JC3, X4), par exempljî, n'est pas altérée en effectuant

une des permutations circulaires [' ), mais elle est changée par toute

autre permutation des lettres x. Or on sait que la valeur d'une fonction cyclique quelconque de Xq^ X|,.,., étant connue, chacune de ces racines s'eîcprime en fonction algébrique explicite des quantités données, et Ton connaît d'ailleurs la forme précise de cette expression. Je rappelle en outre

( =^7 ) que, toutes les valeurs distinctes d'une fonction cyclique étant données, les cinq' racines .r s'en déduisent rationnellement. On obtiendra donc deux méthodes différentes pour représenter les racines x comme fonctions explicites des coefficients de l'équation X = o, si l'on parvient à exprimer les fonctions cycliques/ d'une manière explicite par les fonctions symétriques des quantités X. Pour faire cela, déterminons la valeur de k^ telle, que la condition

soit remplie. Les trois coefficients de cette équation quadratique, par rapport à p, contiennent les quantités x de telle manière qu'ils ne prennent pas plus de deux valeurs en subissant toutes les permutations possibles. D'où il résulte que v s'exprime par les coefficients de l'équation X = o, à l'aide de radicaux carrés. Après avoir disposé ainsi de la valeur de i^, les six fonctionsy,yô,y,,...,y4, satisfont identiquement à une équation de la forme suivante

où y et cj/ désignent des fonctions rationnelles de p, Xq^ x,, Xj, X;^^Xt^^ invariables pour toute permutation circulaire des lettres jc. Les fonctions y et i|» peuvent donc s'exprimer par les fonctions symétriques des quantités x à l'aide de radicaux carrés. Or Téquation remarquable du douzième degré que je viens d'établir peut se résoudre par les fonctions elliptiques, ou, ce qui revient au même, les six fonctions algébriques implicites deç) et^, savoir; f^ /o5 j\'>j\^j%^f\'i s'expriment d'une manière explicite à l'aide des fonctions elliptiques. En effet, après avoir tiré de l'équation

la valeur du module A, les douze fonctions ity seront représentées par l'expression suivante

2 ' \cos am 4 w cos am a « /

en y remplaçant co par les six quantités