LA THÉORIE DES ÉQUATIONS NODIILAIRES

n On connaît toute l'importance dans la théorie des équations algébriques de cette fonction des coefficients à laquelle a été donné le nom de discriminant, et qui représente le produit symétrique des carrés des différences des racines. Aussi les géomètres ont-ils recherché, surtout dans ces derniers temps, les méthodes les plus propres à en abréger le calcul. Mais, dans les applications à une équation donnée, ces méthodes générales sont le plus souvent impraticables en raison des opérations laborieuses qu'elles exigent. C'est cette difficulté qui m'a longtemps arrêté pour former la réduite du onzième degré de l'équation modulaire du douzième, la fonction des racines que j'ai employée pour effectuer l'abaissement conduisant dans les trois cas du sixième, du huitième et du douzième degré à calculer le discriminant de ces équations. J'ai donc essayé d'étudier en général le discriminant des équations modulaires, en prenant pour point de départ les expressions des racines sous forme transcendante, dans l'espérance d'arriver à un calcul qui pût être effectué au moins dans le cas que j'avais en vue. J'y suis effectivement parvenu, et j'ai vu en même temps cette recherche, conduire, par une voie aussi simple que naturelle, à d'importantes notions arithmétiques et à des propositions qu'on ne trouvera pas, j'espère, sans intérêt, sur les sommes de nombres de classes de formes quadratiques, dont les déterminants suivent une certaine loi. M. Kronecker a déjà donné dans les Comptes rendus de r Académie de Berlin (séance du 29 octobre 1857) les énoncés de plusieurs beaux théorèmes de cette nature ; ceux que je vais établir dans cette Note et qui, si je ne me trompe, tiennent à d'autres principes, contribueront, je pense, avec les propositions dues à cet illustre géo- H. 5

inèlre, à jeter un nouveau jour sur une des plus importantes théories de rarithmétiqne, en la rattachant par de nouveaux liens à l'algèbre et à l'analyse transcendante.

» I. Soit // un nombre premier et ©(i', m) = o Téquation modulaire de

degré n 4- 1; en faisant, pour abréger, €= (-U on trouve très-aisément

que le produit des carrés des différences des racines s^j prises deux à deux, et que je désignerai par D, a la forme suivante :

le polynôme Uq -h UtU^ -¥-,.. étant réciproque, c'est-à-dire que ^,=: ^.,-1, et ne contenant ni le facteur w, ni le facteur 1 — i/*; quant au nombre v, il

a pour valeur v = — 7 (/i -f- s). Cela posé, je vais en premier lieu

établir que D est un carré parfait. Je me fonderai pour cela sur la relation importante donnée par Jacobi, entre le multiplicateur M, le module proposé et le module transformé, savoir :

En posant

g=fi(.,«), g = ^(.,«),

de sorte qu'on ait, en vertu de l'équation modulaire,

da ^{vyu)

dv e(p, «)'

cette relation, si Ton introduit e^ et p au lieu de s'k et vX> deviendra

D'ailleurs les valeurs correspondantes de (^ et M sont, comme on sait. V = i/''[sincoam2/9 sincoam4/9. . ■ sincoam(w — i)p],

|à| / K— — p sin coaro ap sin coam 4p • • ■ ^i" ^o^^ (^ — P l'

^1 sînam 2p 8Înam4p. • • sinain(/i — i)p J

(3, ) de sorte qu'en faisant

K i¥J K-f-iK' (,1 — i)K.f-iK'

on obtiendra simultanément les n + i valeurs de M et les /i + i racines Vq^ <^o-*-> ^n^^ l'équation modulaire. Or les équations entre M et A: ont pour coefficients des fonctions entières de k^ celui de la plus haute puissance

de M étant l'unité, et le dernier la constante numérique ^ — ■' > de

manière que le multiplicateur ne peut jamais devenir nul ou infini pour une valeur finie de k. Celte propriété importante, qui est due au P. Joubert, montre que les valeurs de i^ et «, qui satisfont à l'équation modulaire et à sa dérivée Q [ç^ u) = o, annulent nécessairement aussi le dénominateur de M, et par suite S" (i^, m), si Ton exclut les cas limites, « = o, w'= I, auxquels correspondent, comme on sait, p= o, p'= i. Cette restriction faite, on peut conclure que toutes les autres solutions simultanées des équations 0(<^, u) = o, Q{Vj u) = o sont doubles; elles annulent, en effet, le déterminant fonctionnel

dp du du dç du dv

car, à cause de l'équation = o, ce déterminant contient le facteur d'(p, u). C'est dire que tous les facteurs du discriminant, autres que u et I .— w*, y entrent au carré, d'où résulte que le polynôme a,, + a, w* -+-..., qui ne contient pas ces facteurs, et par suite le discriminant lui-même, est un carré parÊiit. A la vérité pourrait-on demander en toute rigueur de démontrer qu'il ne renferme pas de facteurs triples ou élevés à une puissance impaire. Mais ce point sera lui-même complètement établi plus tard, à l'aide d'une remarque que je dois encore placer ici. Multiplions membre à membre les /i + I équations qu'on déduit de la relation

n u[i — u*)^[vy u)

en y remplaçant successivement v par toutes les racines de l'équation modulaire. Comme le produit des valeurs de M est ±: -» on trouvera, en em-

ployant, pour abréger, le signe de multiplication H,

1 1 Utf(t^9*) UB(ç,u)

/i» /i»^' «»+' (i— «•)»+' n^(p, tt) Mais on sait que *

on en conclut (*) que

II (i -i^*) = (i -.«•)"-»•%

et il vient par conséquent

Or, £|u signe près, 110 («^, m) est le discriminant, et cette relation montre qu'on peut le considérer comme provenant de l'élimination de Vj entre les équations

la seconde étant la dérivée — • Cela posé, faisons le changement de (^ en u, et de u en su; d'après une propriété fondamentale des équations modulaires, 6 ne changera pas, — = o deviendra par conséquent -j- = o, et le discriminant, lorsqu'on y aura mis £(^ au lieu de u^ représentera le résultat

dS

de l'élimination de u entre les équations 6 = o, -^ = o. Mais D ne contenant que des puissances paires de u, ce changement reviendra à écrire la lettre if au lieu de u, d'où cette conséquence que l'ensemble des valeurs égales des racines <^o» ^iv^ ^nj ^^ diffère pas de la sérié des valeurs de u qui font acquérir à Téquation modulaire ces valeurs égales.

» II. Après avoir établi que le discriminant est un carré parfait, ce qui permet d'écrire désormais

(*) Il suffit pour cela de poser »=:f («i), puis de changer «> en 1 etd*élever les deux mem-

bres à la puissance huitième, les racines p«, «'ly ••» étant ainsi devenues : y^i — ^\» \/^ -^f^^y ^^c.

si Ton pose

$ (m) = ao -f- a, ii*4- . . . -h€huP% v = —g —j

nous introduirons la transcendante dont j'ai donné ailleurs (p. 3) la définition et les propriétés fondamentales, en faisant

et c*est ainsi que nous parviendrons à représenter explicitement toutes les racines du polynôme 6 {u)j en donnant pour chacune d'elles la valeur de oj. Le caractère principal de ces valeurs consiste en ce qu'elles sont Tune des racines toujours imaginaires, celle où le coefficient de i (*)est positif, d'équations du second degré à coefficients entiers, et que nous désignerons de cette manière :

(a) Pw*4-3Q<k)H-R = o.

Nous allons donner le moyen d'obtenir toutes ces équations en les déduisant de certaines classes de formes quadratiques de déterminant négatif, mais il est d'abord nécessaire, à l'égard de cette dépendance que nous établissons entre les équations et les classes, d'indiquer la proposition suivante :

9 A toutes les classes qui ont même déterminant ou seulement à certains ordres correspondront toujours, sauf deux exceptions dont il sera question plusbas, soit deux groupes, soit six groupes de huit équations, telles, que dans un même groupe toutes les équations se déduisent de l'une d'elles, en y remplaçant tù par a> + 2 /n, le nombre m étant pris suivant le module 8. De sorte que si l'on veut avoir seulement les valeurs distinctes de f*(ck)), on ne conservera qu'une forme de chaque groupe, alors et sous cette condition correspondront à chaque classe deux ou six équations {a).

)> Désignons dans le premier cas par

P(a*H- 2Qm4- R = o

l'une des équations, l'autre s^en déduira en y remplaçant cj par " , et il

en résultera deux valeurs ^ (u) et -yr qui seront deux racines réciproques

du polynôme 6{u).

» Pour le second cas, on aura d'abord les deux équations dont nous

(*) Peut-être n'est-il pas inutile, pour éviter toute ambiguïté, de dire que la quantité / dont il est question est prédséroent celle qui ligure dans l'expression analytique de f((a) où elle a été introduite en posant g = e^^^-

venons de parler, et chacune d'elles en donnera en outré deux autres, en v remplaçant o) par et w — i . Autrement dit, les six équations résulteront

de Tune quelconque d'entre elles en y faisant les substitutions

A ces six valeurs de u répondent six groupes de huit racines du polynôme {u)f qu'on obtiendra par les relations

«•=f'("). Twy -^"f"'- T^)- 7^- %r-

» Quant aux cas d'exception à ces règles, ils concernent les classes dérivées de ces deux formes (i, o, i) et (a, i, a). On rencontre les premières lorsque le nombre premier n étant ^ i mod 4 9 on peut faire

Selon qu'elles présentent les caractères propres aux formes qui fournissent deux ou six équations, on n'en doit prendre qu'une seule, savoir :

«*— aw-J- a = o, d'où w = i4-i, ç*(oi>)= — i;

ou bien les trois suivantes :

«*-Hi=o, d'où « = 1, ç'(ca) = -»

a«*-f- aa)-f- 1 = o, o) = :> ©•(«) = a.

Le premier casa lieu lorsque b est impair ou impairement pair, et le second lorsque b est divisible par 4 dans l'équation n = a* -f- 4^*. Les classes dérivées de (a, I , a) s'offrent lorsque /ï = a' •+- 3 6*, et toujours avec les caractères propres aux formes qui fournissent six équations. Mais on en doit prendre seulement deux, qui sont

et quant aux valeurs deç) (od) qu'elles déterminent, elles dépendent de l'équation

Ainsi le facteur u** — a'-hi se présentera dans le polynôme Q{u) pour /i = y, i3, 19, etc.

» Ces préliminaires établis, nous arrivons à la formation même des équations en G^. A cet effet, nous considérerons deux séries de déterminants, les uns donnés par l'expression

A = (8c?-3n)(n- acf), les autres par celle-ci :

en attribuant à c^ toutes les valeurs en nombre évidemment fini qui les rendent positives, et nous aurons les propositions suivantes :

Première série : A = (8(? — 3n)(w — a(>).

9 Pour A^ I mod 4^ toutes les classes de déterminants — A peuvent être représentées par des formes (P, Q!, R), où Q est impair et R impairement pair. Ces formes fourniront deux équations, dont le type sera précisément

P«"4- aQw -*- R= o.

» Pour A ^ — I mod4i les seules chisses de Tordre improprement primitif ou dérivées d'ordres improprement primitifs pourront être représentées de même ; les autres seront exclues, et chacune des premières fournira deux ou six équations, suivant qu'on aura A ^ -* i ou 3 mod 8,

Deuxième série ; A'= 8c?(;i — 8c>).

» Pour ^ impair, on exclut les classes où les troi$ coefficients sont divi- ' sibles par a ; toutes les autres fournissent chacune deux équations.

j» Si (^ est pair,, on prend sans exception toutes les classes de déterminants — A% et c'est alors seulement qu'on rencontre les groupes de classes auxquelles correspondent six équations. Le premier de ces groupes se présente lorsque ^^ — an mod 8 ; il est composé de toutes les classes dont les coefficients sont divisibles par 4? et qui, ce facteur supprimé, constituent l'ordre improprement primitif, ainsi que les dérivés dWdrcs improprement

primitifs (*), de déterminant g' I^ second est donné par les valeurs de â

qui sont multiples de 8, et il est composé de toutes les classes dont les

(*) Cette réunion d'ordres qui se présente dans les deux séries de déterminants pourrait être appelée simplement le groupe improprement primitif; ce secait ainsi Tensemble des classes (A, B, C), où B est impair, A et G pairs, ces trois nombres pouvant avoir d'ailleurs un diviseur impair quelconque*

coefficients sont divisibles par 8. L'une quelconque de ces classes, auxquelles correspondent six équations, étant désignée par (P, Q, R), conduit immédiatement à l'équation type

Pw^-h aQGi)-+-R = o;

mais pour les autres, auxquelles correspondent deux équations, et qu'on peut représenter ainsi :

p étant I, a ou 4) et A, B, C, n'étant plus à la fois divisibles par a, il sera toujours possible de déduire de (A, B, C) une transformée (P, Q, R) où P est impair, R pair, et l'équation en eo sera encore

Pw*4- aQw + R = o.

» Une observation essentielle doit être enfin jointe aux propriétés précédentes : c'est que dans la série des équations dont nous devons donner la formation, jamais on n'obtiendra d^ux fois la même, si on a égard à ce qui a été précédemment dit relativement'aux classes dérivées des formes (i , o, i) et (2, I, a). Cela résulte de ce qu'un nombre premier n'est susceptible que d'une représentation par la totalité des formes non équivalentes qui appartiennent au même déterminant

» III. Plusieurs des résultats précédents s'étendent aux équations plus générales qui fournissent la relation entre les modules pour toutes les transformations des fonctions elliptiques. Ceux que je vais indiquer, en considérant pour l'ordre de la transformation un nombre n impair sans diviseurs carrés, montreront, je pense, l'intérêt qui m'a attaché à ces recherches, auxquelles j'espère donner par la suite de nouveaux développements. Dans ce

cas, l'équation rationnelle entre {^ = ^X et u=^>Jk est d'un degré égal à la somme des diviseurs de /i, et le premier point que j'ai dû établir consiste en ce que si l'on pose 14 = 9 (o), les racines seront représentées ainsi :

âet ai étant deux diviseurs de n, de sorte que n= ^^1, m étant pris suivant le module â^ et f | j ayant la signification habituelle relative aux nombres composés.

j) Considérant ensuite le produit des carrés des différences des racines,

( 3? ) j'ai trouvé qu'en le désignant toujours par D, on avait

D = w''(i - u*f [ao 4- a, ii^ -h a^u'^ H- . . . -+- r?, w^"),

où N, N' et V sont des nombres entiers dont la détermination dépend des fonctions numériques suivantes, qui s'offrent pour la première fois en analyse.

» Soient âeiâ" deux diviseurs de n tels, que Ton ait

la première de ces fonctions sera la somme de toutes les quantités è^ cJ^, et je la désignerai ainsi :

La seconde X sera définie comme la précédente, mais en employant seulement pour & etâ^ les diviseurs de n qui satisfont à la condition

Cela étant, si X et 2f(J représentent la somme et le nombre des diviseurs

de n, on aura

N = /iX'— aTG H- a Afl,

4v = X* — JG — N — 4 N'.

it Ces quantités auxquelles conduit immédiatement le discriminant' de Téquation modulaire montrent donc le premier emploi des fonctions A», A'„, qui, si on les prend complètes, c'est-à-dire en introduisant dans les sommes tous les diviseurs de ti, seront de la nature des fonctions numériques récemment étudiées par M. Liouville dans plusieurs travaux importants. Mais la limitation &â'<,n leur imprime un caractère spécial qui rappelle dans lia théorie des nombres la notion analytique de parties de Jonctions. Telle est encore cette expression de la somme des diviseurs de n, moindres

que ^rij dont M. Kronecker a montré le premier Tusage dans le beau travail que j'ai déjà cité. Et il semble jusqu'ici que ce soit dans l'évaluation des sommes de nombres de classes de formes quadratiques, dont les déterminants suivent certaines progressions du second or^re, que ces trois fonctions se trouvent appelées à jouer leur principal rôle; mais à cet égard j'aurai surtout pour but de faire ressortir, dans le cas où n est premier, la liaison qui existe entre le degré du discriminant et ces nombres de classes. Pour cela, il est nécessaire que je démontre, comme je l'ai déjà annoncé, que le discriminant ne contient pas de facteurs multiples autres que u et I -- u*, dont le degré de multiplicité soit supérieur à deux.

IV. Les valeurs de o) par lesquelles les racines du discriminant, en exceptant w ==o, w* = i , ont élé exprimées sous la forme

w = ?(«), présentent ce caractère que deux quantités y ( w ), <p ( w' )» sont essentiellement différentes du moment que g) et co' ne dépendent pas de la même équation ; et il en résulte, en premier lieu , que les valeurs communes que prennent respectivement deux racines de Téquation modulaire pour u = (p{(ù) et u = ç ( w') ne pourront non plus jamais être égales. Ce point établi, j'observe ensuite que le déterminant Q'— PR de- l'équation Pw"-h aQ(«)-4- R = o étant résidu quadratique de w, la congruence Px*-i- aQjc + R^o mod n admet, si P n'est pas multiple du module, deux solutions réelles qu'il sera toujours possible de représenter par des nombres multiples de i6 :

Cela étant, les deux racines de l'équation modulaire, qui deviennent égales lorsqu'on fait w = y(w), seront

£t dans le cas où l'on suppose P^omodw, la congruence n'admettant plus qu'une solution x^jx, on aurait l'égalité

Mais on peut toujours faire en sorte d'exclure l'un des cas, de rester dans le premier, par exemple^ en tirant l'équation en &) d'une forme quadratique (P, Q, R) où P ne soit pas divisible par n. Cela posé, l'équation modulaire ne saurait présenter non plus, quand on y fait w = ç(o.)), une troisième racine y ( ^| égale aux précédentes ; car jui" devrait nécessairement

vériBer, ainsi que /jl et fx', la congruence Par^-h q,Qx -h R^o mod/i, ce qui est impossible lorsqu'on suppose le module un nombre premier. Or, ayant démontré que les racines du discriminant ne différaient pas de l'ensemble des valeurs égales des racines Vq^ t^<, . . ., y„, de l'équation modulaire, nous concluons qu'il n'existe pas de facteurs triples dans le discriminant précisément de ce que trois des quantités i^^y v^^..,, sf„y ne peuvent jamais coïncider pour aucune valeur finie de d). Ayant donc fait

nous pouvons regarder comme inégales toutes les racines de TéquatioD

(u) = o; et c'est la proposition que nous voulions établir afin d'arriver à celle-ci : Pour tout nombre premier n, la somme des nombres d'équations déduites des classes quadratiques de la première série de déterminants — A, et de la seconde série de déterminants — A', est égale au degré du poljrnôme ${u). Mais en considérant, pour plus de simplicité, les seules équations qui fournissent des valeurs distinctes de^'^w), nous pouvons remplacer cet énoncé parle suivant :

» Soient ff, etc^ les nombres de classes de la première série auxquelles correspondent deux ou six équations, o'\ et d^ les quantités analogues dans la seconde série, on aura en tenant compte des classes dérivées rfe (i , o, i) e^ ( a, i , 2), fa relation

2 ( C7 ^ 4- ff , ) -h 6 ( (Ta -4- (7^ ) = V = "^-^ - ~^ .

» Tel est donc le théorème, essentiellement limité jusqu'ici au cas où n est premier, que nous allons vérifier par un certain nombre d'exemples, en donnant pour chacun d'eux la série des équations en ro, ce qui va nous conduire en même temps à présenter des applications des diverses règles énoncées précédemment pour la formation de ces équations.

» V. A cet effet, j'emploierai pour abréger la notation suivante. (A, B, C) étant une forme quelconque, je poserai

(C, -B,A)=(A,B,C),, (A, -Ah-B,A-.2B + C)=(A,B,C),.

II deviendra possible ainsi de rattacher immédiatement les équations aux formes réduites, par lesquelles il convient d'autant mieux de représenter les classes, qu'on obtiendra de la sorte les coefficients les plus simples et les valeurs de w pour lesquelles les séries elliptiques présentent la plus grande convergence. Effectivement, si Ton se borne aux équations qui fournissent des valeurs distinctes de ç' (w), ou même à la seule équation type (voyez p. 35), elle sera toujours l'une de celles-ci :

les indéterminées xel jr étant remplacées par w et 1, et (A, B, C) étant une forme réduite. Je conviendrai enfin de les désigner seulement par leurs premiers membres et de représenter respectivement par 2 et 2' pour la première et la seconde série de déterminants, les sommes de nombres d'équations donnant des valeurs distinctes de ?'(w), de sorte que la relation que nous nous proposons de vérifier sera

» Cela posé, voici en commençant par les cas les plus simples les résultats que Ton obtient : ' .

n Jje nombre V se réduitàzéro, ô {u) est une constante, et le discriminant de réquation modulaire w*— ('*■+- 2uv{i — w^t^') = o, ainsi que le donne facilement le calcul direct, est

D=tt*(I-w•)^ • «= 5, V = I.

» La première série de déterminants fournit la seule valeur A = i , d'où la classe ( I ) o, i), qui par exception donne au lieu de deux équations une seule, (t, o, i)a. La seconde série de déterminants n'existe pas, et Ton obtient simplement

» La première série existe seule et doutée A = 3, d'où les deux classes (r, o, 3)^ (a, I, a). Mais on ne doit employer que la classe improprement primitive,. qui, par exception encore, au lieu de six équations, n'en donne que deux, dont le type est (a, i , a). La valeur D est

» La première série donne A = 7, et la classe improprement primitive (a, i,4)î d'où l'équation type (a, i,4)|. On a donc 2 = a. Dans la deuxième série A'= a4, et Ton obtient les quatre équations types :

de sorte que 2' == 8, 2 -»- 2' = 10.

» On verra plus tard comment on parvient ensuite à l'expression :

X (i — 301960 w* H- 355o49aw** H- 19797821 768 w'* -4- 13017608^'^ 197978a » u*^ ^ 355049a u** — 301960 u^^ + u^*Y.

» Pour les valeurs plus grandes de w, je résumerai les résultats dans le tableau suivant :

(a, 1, II), (5, 2

A' =88 (i, 0,88) (8, o,- II), (4,2, 23), (8,4, i3),

A' =48 (1,0, 48) (2, 0,24) (3,0, 16) (4, 0,-12) (^yO,S)(7, I, 7), (4, 2, i3), (8,4, 8)