INDÉFINIMENT
1 . Nous supposerons dans ce qui suit que ni est entier et positif et nous considérerons d'abord le cas où x est réel et positif. Tant que m est fini, on peut écrire
= IH h 1 )
\ mj \ mj 1 .2.3
\ nxj \ mj \ m J m\
On sait que, si «, A, c, ..., / sont des nombres positifs moindres que Tunité, on a les inégalités
et, en appliquant ce théorème aux quantités — > — > • • •? on aura, pour toute valeur de p inférieure à m,
>(.l)(,2)...(,^:zi)>,Z(Z:z.'i
et, par suite,
XP
xP x^ xP-^
>rr-
( «7 ) On peut donc former le tableau suivant :
im
ÏÏT ^ V "" m/ V "" m j 37 ^ 37
im I
/pî xfn-%
m\ \ m) \ m ) m\ m\ im {m — 1)\
En ajoutant membre à membre ces inégalités, après
avoir ajouté à tous les membres la quantité i H — > et en posant, pour abréger,
, . X x'^ x"^ ^/«(^)= IH 1 h... H :>
il viendra
(X\^ /pi
la fonction em{x) a pour limite, quand m croit indéfiniment, la série convergente
IH 1 h.*. H f
que nous désignerons par e(x).
Les inégalités précédentes nous montrent que
est compris entre deux quantités
x^ e,n{x) et e,n{x)— - — e,„i(:r),
qui ont toutes deux pour limite e{x) quand m augmente indéfiniment; par suite,
a aussi pour limite e{x),
2. Supposons maintenant qu(5 x soit une quantité quelconque négative ou imaginaire; nous allons démontrer que ( I H j a encore pour limite e(x).
A cet effet, formons la différence
Nous allons montrer que le module de cette différence peutdevenirplus petit que toute quanti té donnée quand m croît indéfiniment. On a évidemment
= [-(-;7,)]S^[-('-ii)(-S)]S+-
si l'on désigne par /• le module de x, le module du second membre étant inférieur à la somme des modules de sea termes, on a
L \ nij \ m/ J 1.2.3
L \ nîj\ m) \ m ) \ m\
ou bien
e,„ix)-i^i + -j J <.,„(,.)- (^,+ ) .
Or nous avons démontré que, pour toute vahnir de/* positive,
e„i(/*)>( i-+- — ) >em(r)- — e,„-2(/);
( '9) si Ton retranche les trois membres de celte double inégalité de la même cjnantilé ^/«{r), il viendra
La différence em(r) — ( i H J est donc comprise
entre zéro et une quantité qui a pour limite zéro; par
suite, le module de e„i(x) — l i -\ j peut devenir
plus petit que toute quantité donnée quand m augmente indéfiniment. On en conclut que
JimU;„(a?)— M ■+• ^ j =o, par suite
la proposition est donc démontrée pour toute valeur réelle ou imaginaire de la variable x,
3. Nous allons établir maintenant que, si a et a' sont des quantités réelles ou imaginaires, ou a
r -h - H 7 ) = Jim ( iH ) pour m = oo ,
mm/ \ m / '^ '
pourvu que le rapport — t ait pour limite zéro, quand m
augmente indéfiniment.
En effet, on a identiquement
croù
mo(l| ( i-f- - -h^, ) — M-+-^) J
< mod — , m
Tiod ( iH i -A
-4-mo(l(n i A (iH )-+-...
\ mm) \ m]
-H mod f IH I I»
Nous allons démontrer que le module de la différence
tend vers zéro quand m augmente indéfiniment. Soient/' le module de a; /•' celui de a', on aura
mod
mod
m I mm.
par suite,
m L \ m m I \ mj J
et, a fortiori,
Mais, par liypolhèse, —7 a pour limite zéro; on a donc
