IH 1 ,) — ( H

peut devenir plus petit que toute quantité donnée; il

s ensuit que (iH 1 7) etliH ) ont même

limite.

II en serait de même si a' était une fonction de m dont le module tendit vers une limite finie quand m croit indéfiniment.

4. Le théorème précédent nous |)ermet de démontrer une propriété importante de la fonction e{x) pour toute valeur réelle ou imaginaire de la variable.

On a, quels que soient xely.

En effet, e (x) pour toute valeur réelle ou imaginaire de

1 H 1 quandm croitindéfiniment :

IH y

e{ar)= lim 1

e(7) = liro^i4-£y";

par suite

OU

e(x)xe(/)=l.n.(^.+ ^ + ;^j ;

mais, d'après ce que l'on a dénioutré, ou a

,. / x-^y xy\f^ ,. I x-\'y\ \ m nv'l \ m j

OU

,. / x->ry xy\^ , .

par suite

e(a:)xe(7)=e(a7-+-^),

ce (|ui est la propriété foudanientale de la fouctiou e(x) étendue à des valeurs quelconcpies de la variable.