SUR LE THEOREME DE ROLLE

1. On sait que, si toutes les racines derëquation dérivée d'une équation algébrique et entière donnée sont réelles et inégales ; de plus, si, rangées par ordre de grandeur et substituées dans la proposée, elles donnent des résultats de substitution alternativement de signes contraires, toutes les racines d« la proposée sont réelles.

Ce théorème est une conséquence immédiate du suivant :

Si les deux plus petites racines réelles de Inéquation dérivée, ou les deux plus grandes^ substituées dans le premier membre de l'équation proposée, donnent des résultats de substitution de signes contraires, il y a, dans le premier cas, une racine de-la proposée entre — oo et la plus petite racine de l'équation dérivée, et, dans le deuxième cas, il y a une racine de la proposée entre la plus grande racine de V équation dérivée et -f-oo.

Rappelons en deux mots la démonstration de ce théorème.

Si /{x)=iO est Téquation proposée, f{x) = o Téquation dérivée, a et 6 les deux plus petites racines de l'équation dérivée, ona, par hypothèse, /(a) /( 6) < o^ il y a donc une racine a de la proposée entre a et 6, et Ton a pour une valeur de £ sulTisamment petite

tLi L ^ Q

et

Or f'{a — e) et f { — oo) sont de signes contraires^ par suite, /( « — e ) et f[ — oo) sont aussi de signes contraires^ îl y ^ donc une racine de /'(.r)= o entre a et

— <X)\ elle ne peut être entre a et a : elle est donc entre

— 00 et a.

La démonstration serait la même pour les deux plus grandes racines de l'équation dérivée.

2. Proposons-nous d'étendre le théorème au cas où l'équation dérivée n'aurait pas toutes ses racines inégales.

Nous devons tout d'abord écarter le cas où l'équation dérivée aurait des racines multiples que n'admet pas la proposée^ car, s'il en était ainsi, la proposée aurait nécessairement des racines imaginaires.

Supposons donc que l'équation dérivée ait toutes ses racines réelles et que ses racines multiples satisfassent toutes à la proposée.

Soient a, è, . . .,g" les racines de la dérivée qui appar tiennent à la proposée; a, jî, . . ., y leur degré de multiplicité dans la dérivée; soient a', b'y . . . , /'les racines de l'équation dérivée non communes avec la proposée, supposées toutes simples et rangées par ordre de grandeur croissante. Nous allons démontrer la proposition suivante :

Si tous les groupes (a', è'), (è', c'), . . . , (A"', /'), tels que les deux racines d'un même groupe ne comprennent entre elles aucune des racines a^b, , . , ^ g^ donnent, quand on les substitue dans le premier membre de la proposée, des résultats de substitution alternati-

ventent désignes contraires, toutes les racines de la proposée sont réelles.

En effel, soit n le nombre des racines a, è, . . . , ^; ni le nombre des racines a', i', . . . , /'.

I. Supposons d'abord a,è, ..-^g^ toutes comprises entre a' et /' : le nombre de groupes de racines que l'on a à substituer d'après Ténoncé est (m — i) — n\ il y a par hypothèse m — i — /z changements de signes et par suite m — n — I racines réelles de f{x) = o qui sont différentes des racines multiplies de cette dernière

Il y en a une entre — oo eta' et une autre entre /' et -H 00^ car, si a' n'est pas compris entre a' et b\ le théorème précédent s'applique sans modification, et, si a est compris entre a' et è', on a toujours, quel que soit le degré de multiplicité de rt,

par suite, y*(« — e) ety( — oo) sont de signes contraires ; la nouvelle racine de f(x) = o est comprise entre — oo et a'; il en est de même pour /'.

L'équation f(x)=^o a donc m — /z + i racines réelles distinctes^ elle a aussi

(a-i-i)-+-(ê-+-i)-h...-4-(Y-l-i)=a-4-6-h...-l-YH-/i

racines réelles multiples d'ordre de multiplicité a -h » , 6h-i, ...,y-|-i^ elle a donc en tout

racines réelles^ ce nombre représente précisément le degré de l'équation y (x) = o, par suite, toutes les racines de la proposée sont réelles.