II. Supposons que la plus petite racine a du groupe

( 26) a^b^ ,,,s g soit moindre que a' et que g soit plus petit que/'. Les substitutions donnent alors (m — i) — (« — i) changements de signes et, par conséquent, nous révèlent l'existence de [m — i) — (n — i) racines réelles distinctes de y*(x)=o; il y a en outre une racine de la môme équation entre /' et -f- oo^ en y ajoutant les

racines multiples, on obtient un total de

qui est encore le degré de Téquation.

III. Supposons maintenant a<^a! et g^l-\ nous n'aurons plus que m — i — (/i — 2) groupes à substituer, et par hypothèse tous ces groupes nous donnent autant de changements de signes et par suite m — n-\- \ racines simples de y*(a:) = o^ ce nombre, joint au nombre des racines multiples, forme encore une somme égale au degré de l'équation proposée. Il est évident d'ailleurs que les trois hypothèses précédentes sont les seules à examiner^ on peut donc dire que, dans tous les cas qui peuvent se présenter et qui sont compatibles avec l'énoncé, l'équation proposée a toutes ses racines réelles.

SUR L'ÉOUATION DE DEGRÉ m QUI DONNE tang ^

lORSQUON CONNAIT langa;

a ru connaît tanga, est, comme on sait,

L'équation de degré m, qui donne tang— lorsqu'on

(i -f- l'a?)"»— (i — ixy^^

a en posant tang — = jr et tang a = a.

Cette équation, mise sous forme entière, devient

(n- ixy^(i — i«) — (i — ix)^{\ -\- îol) = o.

Les deux expressions

(i-^- ix)^(i-r' ia) et (i — ia7)'«(i -4- ra)

étant imaginaires conjuguées, leur différence renferme i en facteur, et, par suite, en posant

(i) tV,„=(i-i- ix)'"(i — loL) — {i^ix)"i{i-^ ioL)y

le polynôme \ m sera à coefficients réels et de degré m. Cela posé, nous allons former l'équation différentielle du second ordre à laquelle satisfait le polynôme V,„, et nous allons appliquer les théorèmes de Sturm et de Rolle aux polynômes qui figurent dans cette équation, en vue de démontrer que V;;,= o a toutes ses racines réelles.

1 . A cet effet, prenons les dérivées des deux membres de l'égalité (i), il viendra

ou

(2) V;„ = m[(n- t>)'«-» (i — la) -H (i — ix)»'-^ (i + ta) ;

en dérivant une seconde fois,

{-w J V;j=/w(m — i)i[(n-ia7)'«-«(i- la) ^^ i ^(i — i>)'»-î(i-hta)].

D'autre part, en multipliant les deux membres de régalité (2), le premier par 2ix^ le second par

(i -+- ix) — (i — ix),

qui lui est égal, il viendra

2ia?V',„= m[(i -\- ix)'^{\ — ta) — (i — ea?)'«(i H- t'a)] H- m[ — (i-i-ia7)'»->(i — ia?)(i-- l'a)

-+-(1 — ia?)"»-i(i-h ia?)(i-+- ta)],

et, en remplaçant le produit ( i 4- ix) ( i — ix) par i -f- j:^, on aura

2 ta? V'„i = m t V/n — /w (iH- a:* )

X [(i H- i>)'«-«(i — ta) — (i — ia7)'«-î(n- ta)] ou

{m — i)t ou enfin

'^xy'^{m^\)=zm{m-i)ym-^{i-^x^)Y'„,,

que Ton peut écrire

(4) m{m — i) V,„— 2( m — i)xYfn -h (i-H ^*)V'^„ = o.

Cette équation va nous permettre de démontrer la réalité de toutes les racines de \m^= o.

2. A cet effet, prenons les dérivées d'ordre [k des deux membres de l'équation (4), il viendra

m(m — I) V<jJ>— '2(m — i)^V',Ji-^'>- '2ix(m — ijV^SJ»

( 29) OU bien

En donnant à (jl les valeurs o, i, 2, . . ., m — 2, îl viendra

7n{m — i) V,;i— 2(/w — i)ir V'„i -4- (n- a?*) V'J„= o, (m - 1) (m - 2) V;„ - 2(m - 2):r V^, + (i -+- a:^) y;;, = o,

2V(;«-2) — 2a?vi;?-») + (i + ^2)vi;«' = o.

Ces relations nous montrent que les fonctions V;;,, V'^^, V^, . . . , V^'^ jouissent des propriétés requises pour que le théorème de Sturm puisse leur être appliqué. En effet, la dernière VJ^' ne change pas de signe, c'est une constante^ deux fonctions consécutives ne peuvent pas s'annuler pour une même valeur de j:^ si une fonction V',JJ^ s'annule pour une valeur de x, les fonctions V^jJ"^^ et VJfJ"^^^ prennent pour cette valeur de x des signes contraires; enfin V',,^ est la dérivée de \m' H s'ensuit que, la suite V^, V'^, . . . , VJJ^^ ne présentant que des variations pour 07= — 00 et des permanences pour x = -|- 00, la suite perd m variations quand x passe de — 00 à -f- oo; par suite, toutes les racines de l'équation V;,4=o sont réelles et inégales.

3. Appliquons maintenant le théorème de Rolle pour établir la réalité de toutes les racines de Ym= *>•

Remarquons, à cet effet, que l'égalité (3) nous donne

la relation

Vto-2 étant ce que devient \ m quand on y remplace m par m — 2, a restant le môme, et supposons que les

( 3o) racines de V,,^2=o soient réelles el inégales. Nous allons démontrer qu'il en est de même des racines de

Pour cela, considérons la seconde des équations différentielles du tableau précédent, à savoir :

déduite de l'équation (4).

Les racines de ¥^-2 étant réelles et inégales et désignées par aj, a2, . . . , «^-2 dans l'ordre croissant, substîtuons-les dans la relation (5) ; on aura le tableau suivant :

(/^-i)('^-2)V;,,(a,)-+-(i-H«?)V'î,(aO = o, j

car a», a2, . . . , a;„2 sont racines de l'équation ^^'",t= o. Or, d'après le théorème de Rolle, les quantités

ne présentent que des variations; il en est donc de même des quantités

Mais on sait que, si toutes les racines de Téquation dérivée d'une équation proposée sont réelles et inégales, el si, substituées dans le premier membre de la proposée par ordre de grandeur, elles donnent des résultats de substitutions de signes contraires, toutes les racines de la proposée sont réelles.

Il s'ensuit que toutes les racines de Téquation V„^=: o sont réelles et inégales.

Soient />>!, /^.j, . . ., bm-\ les [m — i) racines réelles de \,„, = o; en les substituant dans l'équation (4), on

aura

m(m — l) \m(brn-i ) "H (l + 62,i ) \]n{brn-i ) = O ;

mais, d'après le théorème de Rolle,

sont alternativement de signes contraires; donc les quantités

ne présentent elles-mêmes que des variations. Il s'ensuit que toutes les racines de Téquation ¥,,^=0 sonl réelles et inégaies.

Nous avons supposé que l'équation y„^2 ^ o a toutes ses racines réelles et inégaies. Cette propriété se reconnaît immédiatement sur les équations

V, = et V2 = o, qui sonl

\t=i{x — a), \\= i[a(x^— i) -\- 'jLx].

On en conclut que, d'une part, V,,/^| = o a toutes ses racines réelles, et, d'autre part, que V2«=*> a aussi toutes ses racines réelles ; par suite, on peut dire d'une manière générale que l'équation V,„ = o a toutes ses racines réelles et inégales.

SUR UNE CLASSE D ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES DONT TOUTES LES RACINES SONT RÉELLES;