Si Ton pose
yi — 2aj7 -h a*
la dérivée d'ordre /i de ^ par rapport à a est une expression de la forme
OÙ Q«(x, a) est un polynôme de degré n en x et de degré n en cl.
Je vais mettre en évidence quelques propriétés du polynôme Q^n(^i a), et je supposerai, dans ce qui va suivre, que x ait reçu des valeurs telles que le trinôme I — 2 a j: + a^ ait ses zéros imaginaires, c'est-à-dire que X soit compris entre — i et -f- i .
De Tégalité
yi — 10LX H- a* on tire
OU bien
En dérivant n fois les deux membres par rapport à a, il viendra
En remplaçant j^''+'\jK^''^,j>'f''~*^ parleurs valeurs exprimées en fonction des polynômes de la forme Q,i(^t a),
( 33 ) on aura
(a) \ ^n+iU, ^)-^(o.n -h i){ci — .r)Q„{jr, ol)
En difléreii liant réqualion
(i — 2aa7 + a2) 2 par rapport à a, on obtiendra la relation suivante
(b) \ Q«-^i(-^'*)"^(^^-^-OU — ^)Q«(^,a)
/ — (i — aa^-i-a2)Q;,(^, a)=o;
d'oùl'on tire, en comparant les égalités (a) et (i),
(c) Q;,{a:-,a) = --n2Q;j i(rp, a).
Enfin, au moyen des égalités ( i) et (c), on peut obtenir Téquation difiérentielle du second ordre à laquelle satisfait le polynôme Qrt(a:, a). Il suffit pour cela dedifférentier par rapport à a l'équation (b) et de remplacer dans le résultat
Q«+i(^»a) par —{n-hiyQn(^i^)y qui sont identiques d'après la relation (c).
On obtient ainsi Téqualion
^ 1 — (an — i)(a — a7)Q'^{ir, a)+ n2Q,i(a7, a)= o.
2. Les relations (a), (c), (ûf) vont nous permettre de démontrer que Téquation
Q«(iP, a)=o
de degré n en a a toutes ses racines réelles, pourvu que X soit compris entre — i et + i.
La relation (a) est en efïet le type de la série des égalités
Q„(ar,a)H-(2n— i)(a — ^)Q;,i(a:,a)-h(n — i)2(i — 2aa:-i-a2)Q„2(a7,a)=o,
Q2(a», a)H-3(a-5')Q,(^, a)-hQo=o,
qui montrent que le théorème de Sturm est applicable à
Téquatioii
La relation (a) montre en outre que les coefficients des plus hautes puissances de a dans les fonctions
Q«(rr, a), Q„,(a7, a), ..., Qo
ont des signes alternés. Il s'ensuit que, pour a= — oo.
la suite
Q«(a?, a), Qrt i(ar, a), ..., Qo
ne présente que des permanences et que, pour a = -f- oo, elle ne présente que des variations^ la suite gagne n variations quand a croît de — oo à -h oo; par suite, toutes les racines de l'équation
Qrt(a7, a) = o,
considérée comme une équation en a, sont réelles.
Le théorème de Sturm peut être appliqué aussi à la série des fonctions
il suffit, pour le faire voir, de considérer l'équation différentielle (^/) et de former le tableau
Q«(^» a)(i — 2a.r-i-a2) — (2/1 — i)(a— a:)Q„(a7,a)-i-/i2Q„(a:,a)= o, Q;ï(ar, a)(i - aa^ -f- a2)-('2« -3)(a - r)Q;(^, a)4-(/i - i)2Q'„.(^,a)= o, >
qui nous montre que les dérivées de Q«(.r, a) jouissent des propriétés des fonctions de Sturm.
On pourrait aussi appliquer le théorème de Rolle pour arriver au même résultat; il suffirait de considérer la relation (rt), en faisant aussi usage de (c); la relation (c) nous montre en effet que
et, si Ton admet que Qrt(a:, a)== o a toutes ses racines réelles et séparées par celles de (^n-i = o^ on montre aisément que Q^+i (^, a) = o a aussi toutes ses racines réellfcs et séparées par celles de Q«(j:, a)= o.
On arrive encore au même résultat en appliquant le théorème de Rolle, au moyen de l'équation différentielle (d). On voit clairement, dans tout ce qui précède, la nécessité de supposer que le polynôme
(i — 2aa7-h a*)
ne change pas de signe quand a varie de — oo à + oo et par suite la nécessité d'astreindre x k être compris entre — i et -f- 1 .
3. Si Ton développe la fonction -==== suivant les puissances ascendantes de a, sous la forme
= Xo-+- aXiH-a2X2-l-. . .-+- a»X^-h. . ., yi — 20LX -h a2
les coefficients X^Xj, ...,X,| sont, comme l'on sait, les polynômes de Legendre. Leur degré an x est égal à Tindice de X. Ces polynômes sont liés aux polynômes Q,i( j:, a) par la relation
or
doL^
2aa7-+- a')
En faisant a = o dans cette égalité, on obtient
Cette relation nous fournit immédiatement celle (|ui lie entre eux trois polynômes X d'indices consécutifs. En faisant a = o dans la relation (a), on obtient
Q«-Hl(^, o)-f-(2/i -H i)(— ^)Q«(a7, o)-^ n^Qn-ii^, o) = o
OU
{n -H i)! X«-Hi — (2/1 -\'i)x.n\ X,i-\- n'^(n — i)! X,i i = o,
cil design a tit le produit i . 2 . 3 . . . /z par fi ! .
Eu supprimant le facteur numérique 7i\, il viendra
(e) (n -+- i)X«-Hi — (2AH-i):rXrt-i- /iX„i = o.
Cette relation permet d'appliquer le théorème de
Slurm h Téq nation
Xrt= o,
et de montrer qu'elle a toutes ses racines réelles.
Pour savoir si la suite X,2, X«| , . . . ,Xi , Xo gagne ou perd ses variations, il suffit de considérer l'équation (^), qui nous fait voir que les coefficients de la plus haute puissance de x ont le même signe dans toutes les fonctions X,/, X,i 4, ..., X. La suite perd donc ses variations quand x passe de — 00 à -f- 00.
Le polynôme Q,i(a:, a) peut s*exprîmer d'une manière simple en fonction des quantités X/i..
On a, en effet,
Qn(^, a) = Q«(ar, o)h- aQ'„(a7, o)
+ — Q'«(^, 0)+. . .+ -j Qif '(X, o),
les dérivées étant prises par rapport à a.
D'après la relation (c),
Q«(^,a)=— 'i^Q/t-iC^, a); par suite,
QU^,a)=— ^'Q,i-i(j^, a)==Aiî{n-i)2Q,»-,(;r, a), •
Q((i.)(ar, a) = (— i)!J.Ai2(/i — 1)2 . . . (/i — jjl h- i)2Q«u.(:r, a).
En faisant a = o dans toutes ces égalités, on aura
QU^> 0) = - Ai2Q„,(ar, o),
QU^, 0)=/l2(,i i)2Q,^2(^,0),
Q(H-)(^, 0) = (- ï)V'n^n — 1)2 . . . (n - |jl -^ i)2Q„^(^, o),
et, en remplaçant Q//i (x^ o), . . . , Qw|i(j^, o) par leur expression eu X„|, . . . , X,i ji., il viendra
Qw (^, o)=:n{n — i)n\ X,j 2,
.Qr(^, o) = (— i)l^/i(/i - 1) . . . ( /i - fz -h i) /i ! X;,^ ; on peut donc écrire
L*équation diiTérentielle (d) nous fournil la valeur de Q„(a:, a) pour a: = o; cette expression peut aussi se tirer de la précédente en remarquant qu'on a, d'une manière générale,
Les polynômes \,i ne renferment, d'après la relation (e), que des puissances de même parilé^ l'expression de Q/i(o,a) ne renfermera donc que des puissances deade même parité. L'équation différentielle (rf) nous donne
s On(o,a) n(n — i)
n(/i — i)(ai — 2)(ai — 3)
La valeur x = o transforme (i — 2 ao: -f- a^) en i -|- a-^
par suite, l'équation
a aussi toutes ses racines réelles.
4. Nous allons maîntenant chercher cl*aulrcs expressions du polynôme X/^.
A cet effet, remarquons que
v/i — 2aa7-f- a'^ peut s écrire
Si Ton pose
on aura
par suite
d% dz dx dz \Ji 372 y
Oj
par suite
et, faisant a = o,
(39) en désignant par Zq ce que devient z pour a = o. Mais
y donc Zq-=
x'^ I -h ^g = IH
par suite
