Chapitre III

Congruences multiplicatives. Idéaux à l'infini. Groupes de congruence.

Congruences multiplicatives.

L'importance dans toute la théorie du corps de classes des groupes multiplicatifs de nombres rend gènant le fait que les congruences ordinaires ne peuvent être divisées membre à membre: par exemple de 7 = 7 (mod. 7) et de 7 = 14 (mod. 7) on ne peut pas déduire 1 = 2 (mod. 7).

C’est pourquoi M. Hasse à introduit, par une legère modification des définitions, une nouvelle sorte de congruences, les congruences multiplicatives (dans le mémoir cité dans l'introduction p. 367). Ces -congruences seront presque exclusivement employées dans la suite : nous leur reserverons le symbole (mod. m) jusqu'ici employé pour désigner les congruences ordinaires ou additives. Pour ces dernières, nous remplacerons le symbole (mod. m) par (mod. *m).

Définition. Soit m un idéal entier. Un nombre « est dit congru à 1 (mod. m) quand &«—1 est divisible par m, (c’est-à-dire quand æ— 1 se met sous la forme À où 8 est divisible par m et 7 premier à m, Bet}

îF + étant des entiers).

Deux nombres &, 8 + 0 sont dits congrus (mod. m) si © est = 1

(mod. in).

Si & = B (mod. m) et &’ = 8’ (mod. m), on à «œ’ = BB (mod. m) et

= . (mod, m).

RS

Œ / , È . A / See Or, g étant = 1 (mod. m) est premier à m (c’est-à-dire, se met sous

/ la forme du quotient de deux entiers premiers à m). : — let = — 1 £ di sont divisibles par m, donc aussi — 1. Pour démontrer la seconde 1 Û 4 : ms / 1 28, 1h 0 partie, montrons que si æ = æ’ (mod. m), on a = — (mod. m). Le (24 œ

a FPT : à nombre = — 1 est divisible par m. Done ® est premier à m. Or œ (2

ce qui démontre notre proposition, en même temps que le fait que si œ@ = @œ’ (mod. m) on à aussi æ = æ (mod. m).

On démontre de même facilement que & = & (mod. m) et que si & = B (mod. m), 8= 7 (mod. m), on a aussi & = 7 (mod. m).

S1 «, B sont des nombres qui se mettent sous la forme du quotient de deux entiers, le dénomiuateur étant premier à m, la congruence « = B (mod. m) entraîne &« = 8 (mod.* m). Si au contraire les numérateurs sont premiers à m, la congruence « = 8 (mod.* m) entraîne « = @ (mod. n).

Signature. Idéaux à l'infini.

Soit £ un corps fini de nombres algébriques et soient 4%, k®,..., Ke les conjugués réels de %. æ étant un nombre + 0, appelons a«% le conjugué de æ& dans 4%, et appelons signature de & un symbole (+ 1, + l,..., + 1) contenant r, nombres, le i-éme. nombre étant + 1 si a® > 0, — 1 dans le cas contraire.

Lemme. m éfant un idéal entier de k, p un nombre + 0 de k, ü ya une infinité de nombres & = /# (mod. m) ef ayant une signature quelconque donnée à l'avance.

Donnons-nous un nombre 0 qui engendre le corps k. Donc # est différent de tous ses conjugués. On peut supposer les conjugués réels de k rangés dans un ordre tel que 0% < 4%. On peut choisir des nombres rationnels 0, tels que

DO EN RRQ To PO De

Soit @; = (0—p;1)(0—p;). Le nombre y, a pour signature un symbole composé de nombres + 1 sauf à la î-éme. place où on trouve un nombre — 1. Il en résulte qu'on pourra trouver un produit 6 de nombres w, ayant une signature quelconque donnée à l’avance. Soit m un nombre entier rationnel divisible par nt. Â étant entier rationnel, on peut trouver un nombre NW, tel que pour NZ N, le nombre y, + mNe satisfasse aux conditions imposées.

Il est commode d'introduire dans l’étude de % r, symboles purement formels ba Pas +. m. appelés idéaux premiers à l'infini”. mo étant un

idéal entier on appellera modules des symboles formels mob, à..-p, ix

11) Ces symboles ont été introduits par M. Hasse. Leur nom provient probablement de ce qu’ils jouent un rôle analogue a celui des points a l'infini d’une surface de Riemann au point de vue de la théorie arithmétique des fonctions algébriques.

390 C. Chevalley.

= su Pi mn étant un semblable module, nous donnerons un sens à la congruence æœ = B(mod.m). Par définition, on aura le droit d'écrire cette congruence si et seulement si :

1) « = B (mod. no).

2) Dans la signature de % , les nombres des places à, %,---ù Sont

égaux à + 1.

Ces congruences peuvent être multipliées entre elles comme les congruences multiplicatives ordinaires.

m étant un module m,//p.,i, nt, sera appelé partie finie de m. On dit que mest divisible par un idéal quand cet idéal divise m,. m est divisible par un autre module msi la partie finie de m’ divise m et si tous les idéaux premiers infinis de m' figurent dans m.

Le p.g.c.d. de deux modules m, m’ est le module dont la partie finie est le p.g.c.d. des parties finies de m, m’, et dont les idéaux premiers infinis sont ceux qui figurent à la fois dans m et dans m’. On définit de même le p.p.c.m. Deux modules sont premiers entre eux si leur p.g.c.d. est 1; ïil en résulte en particulier qu'aucun idéal premier infini ne figure dans les deux modules à la fois. De même pour un module et un idéal.

Soit À un sur-corps relativement EN de k de degré relatif n. Donc pour chaque K® ïl y a n conjugués (d’ailleurs identiques) de X contenant k®. Si ces corps sont imaginaires, nous dirons conventionnellement que p.; est ramäifié dans K. Si ces corps sont réels, nous dirons que p.; est complètement décomposé dans K. Dans ce cas à chacun de ces conjugués réels de K correspond un idéal premier à l'infini PS. Nous remarquerons que les conditions æ& = f (mod. p..;) et æ = ff (mod. //$,) sont équivalentes et nous écrirons p..; = 1 PA. m étant un module quelconque de #, nous considérerons m comme égal dans X au module qu'on obtient en y remplaçant les idéaux infinis complètement décomposés par leur expression au moyen de la formule précédente, et en laissant tomber les autres".

Lemme. mn et m’ éfant deux modules, la condition nécessaire et suffisante pour que le système de congruences x = @ (mod. m) et % = æ (mod. m’) soût résoluble est que &« = æ&' (mod. f), f étant le p.g.c.d. de m et de nv.

La condition est évidemment nécessaire. Supposons la remplie. Soient M mo’ les parties finies de m, Les La pute finie de | est (to mo’).

19) a et 8 étant des dornbies de #, la congruence & = f (avE m) vtt être vraie dans Æ sans l'être dans 4 Mais À, B étant deux nombres de K, la congruence À = B (mod. m) entraîne Nxx (A) = Nxx (B) (mod. m).

On sait que l’on peut déterminer un nombre x, tel que x, = æ& (mod. mt) et % = &'(mod. nm). Le nombre x est assujetti aux conditions suivantes : æ est congru (mod. mn) et (mod. ms) à x, ; de plus sa signature est assujettie à des conditions qui, en vertu de & = æ&’ (mod. f) ne sont pas contradictoires. Il existe done un symbole (+ 1, + 1,..., + 1) qui satisfait à ces conditions et d’après le lemme démontré p. 389, un nombre # = % (mod. nt nt’) et ayant cette signature.

Groupes de congruence.

Soit m un module dans un corps de nombres algébriques k.

Définition. l’ensemble des idéaux principaux (3) qui sont représentables par un nombre B = 1 (mod. m) est un groupe qu’on appelle rayon (mod. m) et qu’on représente par Sy.

On désignera toujours dans la suite par 4 le groupe des idéaux d’un corps k premiers à un module m. (S'il n’y à pas d’ambiguité possible, on pourra supprimer l'indice supérieur k.)

Théorème. S, est dans An un sous-groupe d'indice fini.

En effet distinguons dans 44 le groupe An des idéaux principaux premiers à mn. Ay/An est fini comme étant isomorphe au groupe des classes de k. «æ représentant les nombres premiers à m et 8 les nombres = 1 (mod. m), on a Ay/Sn © (æœ)/(2) © æ/e8, e représentant les unités de #. Pour prouver que (4, : S,) est fini, il suffit de montrer que (a : f) est fini.

Or («: B) est fini. En effet, désignons par m, la partie finie de m, par B les nombres = 1 (mod. nm). (@%:/) est fini, car 8, n’est susceptible que d’un nombre fini de signatures distinctes et s’il a la signature (+1, +1,..., +1), il appartient certainement au groupe 8; donc, tous les nombres , ayant une même signature appartiennent à la même classe (mod. m). D'autre part (&:/@) est fini, et égal au nombre des classes d’entiers premiers à mo (mod. nt).

Définition. Le groupe 4/8, est appelé groupe des classes d’idéaux (mod. m). a et a’ étant deux idéaux de 4,, on écrit a = a’ (mod. m) si et

seulement si est dans S Ces congruences peuvent être multipliées

-et divisées membre à membre.

On appelle groupe de congruence (mod. m) un sous-groupe de Ax contenant S,. 4 étant un groupe de congruence, 41/7 et (An : À) sont appelés respectivement groupe quotient et indice de H.

IT étant un groupe de congruence (mod. m), et n un module multiple de m, l'ensemble des idéaux de Æ premiers à n forme un groupe de

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congruence (mod. n). Il y à intérêt pour la suite à ne pas distinguer ces deux groupes. Nous poserons donc la définition suivante :

Deux groupes de congruences Æ et H sont dits égaux s’il existe un idéal a tel que les idéaux premiers à a qui se trouvent dans H et H soient les mêmes.

Un groupe de congruence FH est dit définissable (mod. m) s’il existe un groupe de congruence (mod. m) et égal à Æ. On dit encore que m est un module de définition de ÆH. Si m est un module de définition, il en est de même de tous ses multiples, ce qui prouve que deux groupes de congruence ont toujours des modules de définition communs.

Si deux groupes de congruence sont égaux, ils ont mème groupe quotient et par suile mème indice.

Il suffit évidemment de démontrer cette propriété dans le cas où l’un, H°, de ces groupes est un groupe de congruence (mod. m’) formé des idéaux de l’autre, H, premiers à m. Or considérons une classe À de An suivant /1,. Tous les idéaux de R premiers à m’tomberont dans une même classe 8’ de 4,4 suivant H’. Montrons d'abord qu'il y a toujours de tels idéaux. Soit b un idéal de R.

Prenons dans la classe absolue de b un idéal c premier à mm. On a cb" = (8) où B est un nombre nécessairement premier à m. Il existe un nombre f’ premier à mm’ tel que BB = 1 (mod. m). L'idéal b(88") appartient à R et est premier à m’.

Dans ces conditions la correspondance 8 —> ®” est un isomorphisme de A,/H et de Axw/1T, ce qui démontre le lemme.

Le p.g.c.d. f de deux modules de définition m, m’ d'un groupe de congruence IT est encore un module de définition de H.

En effet il existe par hypothèse un module nr que l’on peut supposer multiple de m et de m’, tel que tout idéal de S, appartienne à Æ. KSoit æ un nombre premier à n et = 1(mod.f). Il en résulte qu’on peut déterminer un nombre 8 = & (mod. n) et tel que 8 = 1 (mod. n’) et que (Bu) =1. De 8 = 1 (mod. m) où déduit que (8) est dans Æ De

= 1 (mod. m) on déduit que ( ; ) est dans /Z. Donc (&) est dans 1H, ce qui démontre le lemme.

Il en résulte que le p.g.c.d. de tous les modules de définition d’un groupe JT est encore un module de définition de Æ Ce module est appelé conducteur du groupe.