CE) (8, (Æ)-(Æ) Æ)-9E

c) k' étant un sur-corps quelconque de k, Kk' est un corps relativement abélien par rapport à 4’, dont le groupe de Galoïis peut être considéré comme un sous-groupe du groupe de Galois de Æ par rapport à k. En effet un automorphisme de Kk’ par rapport à k', appliqué aux nombres de Æ, donne un automorphisme de Æ laissant invariants les nombres de Æ. Soit p un idéal premier de # non ramifié dans Æ et soit q un diviseur premier quelconque de p dans &’. L'idéal q n'est pas ramifié dans Kk/, car une opération du groupe d'inertie de q dans Kk' induit dans le groupe de K par rapport à £ une opération du groupe d'inertie de p. Soit f le degré relatif de p par rapport à #. On a par hypothèse, pour tout entier À de K,

on à

Il en résulte

(ae )4 = AM = 4NW (mod. q).

Mais on a aussi

Donc :

388 C. Chevalley.