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Tout élément 4 d’une extension de X de degré n satisfait dans à une équation de degré », qu’on obtient de la manière suivante : soit
nw 0w, — > 250; (à —= ll PAR n).
j=1 Le nombre @ est racine de l’équation caractéristique de la matrice (4; c'est-à-dire de l’équation
An @ Az +. An
An An Ann — T |
Cette équation, qui est indépendante de la base choisie, est appelée l'équation normale à laquelle satisfait 0. Si @ satisfait dans & à une
13) Voir pour la théorie des corps et la théorie de Galois: Hasse, Hôhere Algebra, Sammlung Gôüschen, de Gruyter, 1927.
394 C. Chevalley.
équation irréductible g(x) — 0 de degré d, dont le premier coefficient est 1, le corps Æ(4), le plus petit sous-corps de Æ contenant Æ et 6, est une extension de degré d de k. Si o:1,..., w,,4 forment une base relative de K par rapport à Æ(@), les nombres «,@/ (i= 1,2,..., n/d; j = 0, 1,2,..., d—1) forment une base relative de K par rapport à k. En calculant l’équation normale au moyen de cette base relative, on trouve que cette équation normale est (g(x))"”* = 0.
Le dernier terme de l'équation normale de # est appelé norme de 0 par rapport à k, et désigné par Nx,(4). Ona
Nxx (6) Nr (9°) = Nxx (90°).
Si k est de caractéristique 0 (c’est-à-dire si la somme d’un nombre quelconque d'éléments tous égaux à 1 n’est jamais nulle) ou si k est un champ de Galois, une équation irréductible dans k n’a dans une extension quelconque que des racines simples. De plus toute extension de degré fini n est obtenue par adjonction d’un nombre satisfaisant à une équation irréductible de degré n. Les corps k satisfaisant à ces conditions sont appelés parfaits. Ils seront seuls considérés dans la suite.
Théorème de Hilbert. Corps kummeriens.
Introduisons d’abord une notation qui nous sera très utile. étant un sur-corps relativement abélien de k, soient s; les diverses opérations du groupe de Galois relatif. f(s;) étant un polynome à coefficients
é à di @ ax Vel entiers rationnels, de la forme Vas Gi ä} ra , et À désignant un
nombre de k, on posera
