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minant est + 0. Or chacun de ces nombres B, satisfait à la relation 6B, = AB,. i

D'où, si B, + 0, A = (B;1)"-7, ce qui démontre le théorème de Hilbert.

Conséquence” : Théorème de Lagrange.

K° étant un sur-corps relativement cyclique de k de degré relatif n, si k contient une racine primitive n-ème de l'unité, £, on a K=k(Y#/&), «à étant un nombre de k.

En effet f, considéré comme nombre de K satisfait à la condition

Ne) = €" = 1.

Donc il existe un nombre À de K tel que 7 = 47°, On a 0*4 = f'A, donc À est distinct de tous ses conjugués par rapport à k, et K = k(4). De plus (a A)" = £"A" = A4", ce qui prouve que 4" est un nombre « de k.

k étant un corps satisfaisant aux conditions du théorème de Lagrange, un corps #(%/œ) est appelé corps kummerien par rapport à X.

Dans ce qui va suivre, nous supposerons toujours que Æ est un corps contenant les racines n-èmes. de l’unité. On désignera par g, le groupe des puissances n-èmes. des nombres + 0 de k.

Lemme I. « étant un nombre de k, le corps k(ÿ/œ ) est un sur-corps relativement cyclique de k de degré relatif égal à l'indice ((g%, æ): g%).

Le corps Æ(j//œ) est évidemment relativement galoïisien. Soit « une opération du groupe relatif de Galois: on a 6Ÿ/æ = 0Ÿ/ œ, 0 étant une racine n-ème. de l’unité, et la correspondance o + 0 est un isomorphisme du groupe de Galois et d’un sous-groupe du groupe des racines n-èmes.

14) Le carré de ce déterminant est le diseriminant de l'équation à laquelle satisfait 4 dans k.

15) Le fait que ce théorème soit une conséquence du théorème de Hilbert montre que le théorème de Hilbert est la généralisation du théorème de Lagrange.

396 C. Chevalley.

de l'unité, qui est cyclique. Donc le groupe de Galois est cyclique. Soit « une opération engendrant ce groupe: si oÿ/œ = 0ÿ«, l’ordre du groupe est l’ordre d de la racine de l’unité 9. Mais ce nombre est aussi le plus petit exposant + tel que o(/a)" = (a) donc tel que (}/« ) soit dans k:d est le plus petit exposant x tel que a” = 8", B étant dans k, ce qui démontre le lemme I. De plus on voit que d est toujours un diviseur de n.

Lemme IL. Tout nombre B du corps k(ÿ/ «) dont la n-ème. puissance est dans k est de la forme B = Kÿ a }", B étant dans k.

Soit d le degré relatif de Æ(}/æ), et soit « une opération engendrant le groupe de Galoïis relatif. Donc 4%/x = 0ÿ/æ, 0 étant une racine primitive d-ème. de unité. B" étant dans k, on a oB = £B, £ étant une racine n-ème. de l’unité. € est donc dans # et 6°B = £B. On a donc

= 1, £ est une racine d-ème. de l’unité, donc de la forme #”. Ona

6B — 0®B, o(Ÿ'a ) = 8x, Ba) *)= Ha).

Donc Aa) CU

Théorème. Soit g un groupe de nombres de k contenant gf comme sous-groupe d'indice fini N. Soit K le sur-corps de k obtenu par adjonction des racines n-èmes. de tous les éléments æ« de g. On a