K:E) = NN

En effet choïissons une base du groupe abélien g/g* et dans chaque classe de base un élément «; Donc tout élément de g se met sous la forme

L L LVy Qi CCD OO 2e L

et æ n’est puissance n-ème. exacte que si tous les æ&* sont puissances n-

èmes. exactes. Soit pour chaque à, a" la plus petite puissance de æ, qui est dans gg. Ona N = mm...n,, de plus K = Ho, a... @,).

Ceci posé le théorème est démontré pour r = 1 (Lemme I). Supposons le démontré pour r — 1 éléments de base et démontrons le pour r.. Soit = K(ÿ/æ«). Soit dans H, g le groupe (9h, æ,..., æ@). On a K = ka. ÿa), et par suite (K:k) = (g:g*). Déterminons cet indice. Supposons qu’un élément a°...a}” soit la »-ème. puissance d’un élément B de k. Donc Best dans k et d’après le lemme IE, B= BG œ)", Ad -D'oû

Lan + Vy ïñ di de arr Up,

ce qui éxige que 2% = 0 (mod. %),..., », = 0 (mod. n,). On en déduit (Ki) = (gr: 9 = mn. D'où

(KR) = UK: G::b) = R,

ce qui démontre le théorème.

Une base relative particulière.

Théorème. Soit K un sur-corps relativement galoisien d’un corps k. Le corps K possède une base relative par rapport à k formée d'un nombre et de ses conjugués par rapport à k.

Soit (@:1, &»,..., w,) une base relative quelconque de K. Soient G le groupe de Galois relatif et o les opérations de G. Ona

(1) Qi — 23 &;, DAAEN

Nous associerons à © la substitution linéaire x; = Z'Æ7x,. On voit tout de suite que nous avons défini une représentation de G. Si on remplace (an, &,-.., w,) par une autre base, cette représentation se changera en une représentation équivalente. Nous désignerons par f(o) le caractère de & dans cette représentation, que nous désignerons elle-même par Pr.

Si le théorème est vrai, Px4 doit être équivalente à la représentation obtenue au moyen d’une base composée d’un nombre et de ses conjugués relatifs. Soient w, = wi les nombres d’une telle base. La représentation correspondante est facile à trouver: si oo; = 53, on a

(23 EU sij +, 4, il.

D'où

PE CM EE A DAT Ne

4 â Autrement dit, on doit avoir f(o) = 0 si o+1l, f(1)=n. Réciproquement, si ces conditions sont réalisées, la représentation P%, est équivalente à celle fournie par les formules (2). On pourra donc obtenir par un changement linéaire de variables une base (&;',@',..,w,) dont les éléments, par application des opérations o, subissent les transformations definies par les formules (2). Une telle base est composée d’un nombre et de ses conjugués. On appelle d'habitude régulière la représentation du groupe G définie par les formules (2). Soïent R, la matrice des nombres définis par les formules (2), 4, la matrice (457), © la matrice (w?) dont chaque colonne est composée d’un élément de la base et de ses conjugués.

398 C. Chevalley.

Appliquons à la formule (1) un automorphisme 7 quelconque de G: les nombres 4} étant dans k, il vient

(3) IAE:

Or la multiplication à gauche d’une matrice par R, a pour effet une permutation des lignes de la matrice, amenant la ligne de rang j sur la ligne de rang Æ défini par ro = 04. D'où

Mais les formules (3) donnent (or) = WA

et par suite on à , VAT ESA

Remarquons que le déterminant de la matrice ©, son carré étant le discriminant du système de nombres (&:, &:,..., w,), n’est par nul. Donc l'équation peut s’écrire

do Re,

Mais la trace de À, est fa) et on sait que deux matrices transformées lune de l’autre ont même trace, ce qui démontre la proposition"

Théorème des unités.

Nous supposerons maintenant que # est un corps fini de nombres algébriques. Nous rangerons l’ensemble des conjugués de # dans un ordre tel que, #° représentant ces divers conjugués, k®, k®...., k°9 soient réels, et que K1*V et Kfi+"+ soient imaginaires conjugués (À = 1,2... 2). Donc, N désignant le degré de k, on a N = mr, + 2».

K désignant un sur-corps relativement galoisien de #, chaque 4% est contenu dans un conjugué K® de K. Si k® est imaginaire, K® l’est aussi. Si k® est réel, K® peut être réel ou imaginaire. Nous supposerons que pour 1<i<p, K® est réel, et pour Bm<iS<Nn=pn+p K% est imaginaire.

Soit G le groupe de Galois de Æ par rapport à & Gest isomorphe au groupe de Galois de K® par rapport à 4, l’isomorphisme étant réalisé en associant entre elles des opérations qui se déduisent l’une de l'autre par application d’un isomorphisme bien determiné de # sur in SI Pi <'È < O1 + Pr, il y a entre k® et K® un sous-corps maximum

15b) Cette élégante démonstration est due à M. Hasse.

2 à (à x Q réel de K, appartenant à un sous-groupe d'ordre 2 du groupe de Galois + AO - ; mA de K® par rapport à #&%, qui par l’isomorphisme précédent, donne un sous-groupe d'ordre 2 de G engendré par une opération 5, Si à n’est

pas entre p; et Pi + pr, on posera 0; = 1. Ceci posé, nous allons démontrer le théorème suivant dû à Herbrand’®.

Théorème des unités. Il existe dans K r, + r> unités E, jouissant des propriétés suivantes :