MOQUE
2) Pour chaque à prenons dans chaque classe de G modulo (o;) un élément =°.. Entre toutes les unités EF7° il n'y a qu'une relation mulliplicative” de la forme :
; ca) HE) = 1,
les a; ; étant des nombres entiers.
Le théorème de Dirichlet nous apprend qu’il existe dans Æ un système €,€,..,€x 1 de R—1 unités indépendantes, où À = np:
+ SE + nr», n désignant le degré de ÆK par rapport à k, et par
conséquent, R représentant le nombre total des r/, tel que toute autre unité e de K se mette sous la forme
MT NC ere
£ étant une racine de l’unité. « désignant les opérations de G, on aura
Co) (Co) (ao) & CU, 1 Ui.2 Ui,R -1 RL CRE
Nous associerons à o la transformation linéaire à R variables définie par les formules
R-1 (1 Due Sierra; 2r = Tr.
j=l On verifie tout de suite que cette correspondance définit une représentation P de G. Nous l’appellerons représentation de G& au moyen des unités. Les unités cherchées, et leurs conjuguées, devront s'exprimer
16) Voir Herbrand, Nouvelle démonstration et généralisation d’un théorème de Minkowski, O.R. (1930), p. 1282. Cf. une démonstration plus simple dans: Artin, Uber Linheiten relativ galoisscher Zahlkôrper, Crelle 167.
17) Etant données des unités Æ1, E1,..., Es nous entendons par relation entre ces unités toute relation de la forme Æiti FH... F4 = l, les ai étant des entiers rationnels. Pleusieurs relations serait dites indépendantes si les forme linéaires J'œxi qu’on peut construire avec leurs coefficients sont indépendantes. Une relation est une conséquence d’autres relations quand sa forme linéaire est une combinaison linéaire des formes linéaires relatives aux autres relations.
400 C. Chevalley.
au moyen des <, et elles devront subir quand on leur applique les transformations o des transformations particulières: si ot, = ty (mod. (5;)) on devra avoir
cEt; = Ef.
Soit (2) EU = cekrr*
(£ désigne une racine quelconque de l'unité) Les R formes linéaires hs = Lhjxtx devront subir, quand les + subissent les opérations de la
représentation P, les transformations d’une représentation P°/* définie par
(3) Vas = Ye
Réciproquement, si nous pouvons démontrer que P et P%/* sont équivalentes, nous pourrons toujours trouver À formes linéaires indépendantes à coefficients entiers rationnels y, ; des x subissant les transformations (3). Les unités (2) correspondantes élevées au besoin à une certaine puissance repondront à la question, car les R formes y, considérées comme fonctions des variables %,, %,..., %#1 en y annulant le coefficient de x}, ne seront liées que par une relation.
Or, si K; est un sous-corps de À contenant # et appartenant au groupe G\, la représentation de G; au moyen des unités de Æ est précisément la représentation de G;, obtenue au moyen de la représentation P. Je dis que PŸ/*1 est aussi la représentation de G; obtenue au moyen de P,. Il suffit de montrer que, « étant une opération de G, le caractère v(o) dans P5/* est égal au caractère 6x(a) de o& dans PE/Æ, Or, si o + 1, p{{o) est égal au nombre des 4, égaux à o. Ces 0; sont donc dans G;; soient d’autre part K%° les divers conjugués de XA. Cherchons les substitutions 4, définies pour l’extension K/K; comme les 9, le sont pour K/k. à, n’est different de 1 que si X{° est réel, K® imaginaire ; dans ce cas KXf° est contenu dans le plus grand corps réel contenu dans K% et 5, = 0, a, est dans G. Si os; n’est pas dans G, = 1 Or Yx(o) est le nombre des 5; égaux à &. D'où pro) = vo). D'autre part px(1) = (1) = R.
Ceci posé, désignons par f(a) le caractère de & dans la représentation au moyen des unités de À du groupe G. Nous voulons montrer que pour chaque 6, f(o) = go). Or prenons un & determiné quelconque et désignons par G; le groupe engendré par 9, par X: le corps appartenant à G,: nous venons de voir que f(o) est le caractère de & dans la représentation de G, au moyen des unités de X et que e4(o) = @x,(0). Il suffit done de démontrer l'égalité en question dans le cas des
extensions cycliques (Gi est cyclique). Nous ferons alors la démonstration par récurrence sur le degré de l'extension; supposons donc K extension cyclique de degré n et le théorème démontré pour toutes les extensions cycliques de degré <n. On a f{o*) — g(o“) = 0 pour (a, n) > 1. Les nombres f(o*) — g(o“) pour lesquels (a, n) = 1 étant rationnels, et se déduisant les uns des autres par des automorphismes du corps R(£) par rapport à R (f désignant une racine n-ème. de l’unité) sont égaux. D'autre part leur somme est nulle, ce qui achève la démonstration.
On peut transformer le résultat du théorème de Herbrand d’une manière qui sera commode dans la suite”. Tout d’abord posons
dd & = 1] EF. Comme 6,E, = E, €, est une unité de k, et <= NxWE;)
si +1, & = NE) si 6; = 1. Il existe par hypothèse une relation e ca)
entre les unités EF :
