D DEMI TD

Prenons la norme de cette relation : il vient une relation Ai RÉEt a

qui doit être équivalente à la première quand on y remplace les €; par leurs expressions.

Or on peut dans un système d’unités satisfaisant aux conditions du théorème des unités, remplacer certaines unités Æ, par des puissances de ces unités sans qu'il cesse de satisfaire aux conditions. Nous remplacerons Æ;, par EA, de manière que la relation fondamentale prenne la forme

ADN 702 6 | ND :

Posons n; = 5* al tn, =" 810 = 1;é6t E" H, = — €,

et considérons le système formé par les unites

Tr (2°) Es Éniee y Érct LM °

18) Cette transformation de la forme du résultat est dûe à M. Artin. Cf. 16)

402 C. Chevalley.

Cherchons quelles relations peuvent exister entre les unités de ce système. Remarquons qu’on peut construire avec les unités (2) le

système d’unités EM qui ne sont liées que par une relation. Le système contenant R + r — 1 unités, ces unités sont liées par r relations indépendantes (x = 1, +”). Mais nous connaissons déja r relations indépendantes, à savoir les relations Mx,(H;) = 1. Toute autre relation doit donc être une conséquence de celles-là.

Nous remarquerons que les relations Mx,(;) = 1 sont elles-mêmes conséquences des relations

(en HE =1

qui forment un système equivalent.

Extensions cycliques. Nombre des classes ambiges””.

Soit # un corps fini de nombres algébriques, et soit K une extension relativement cyclique de degré relatif n. Soit G le groupe de Galois de K par rapport à k et soit «o un élément primitif de G (c’est-à-dire engendrant G).

Soit À une classe d’idéaux au sens absolu de À Si a est un idéal de À, ca appartient à une classe qui ne dépend pas du choix de a dans fi. Cette classe se désigne par R° = 68. Si À = 68, on dit que la classe R est ambige. On désignera par & le nombre des classes ambiges. C’est ce nombre que nous voulons calculer.

A cet effet, désignons par D* les idéaux qui appartiennent à des classes ambiges. Ils forment évidemment un groupe caractérisé par

St (à)

où 0 est un nombre. De plus les nombres @ qu’on obtient ainsi forment un groupe. Ils sont caractérisés par le fait que (0) est la puissance 1—5 d’un idéal qui est nécessairement dans une classe ambige.

On désignera encore par :

a, æ, À les idéaux +0 de k, les nombres +0 de k, les nombres +0 de K,

19) Le calcul fait ici est la généralisation au cas “ cyclique quelconque ” du calcul fait par Takagi dans le cas “ cyclique de degré premier,” calcul dont l’idée essentielle se trouve dèja dans le “Zahlbericht” de Hilbert, dans la démonstration du théorème suivant: si un sur-Corps relativement cyclique de degré premier de # est non ramifié, il y a au moins un idéal de # qui n’est pas principal dans Æ mais qui est principal dans le surcorps. L'extension au cas “cyclique de degré quelconque ” a été rendue possible par le théorème des unités de Herbrand,

On a a = (D* : (4)) = (D* : S(4)) (S( 4): (4))

Etudions d’abord le second facteur. Remarquons que le groupe (4) n’est autre que la partie commune aux groupes Det (A): car si un idéal © est principal, soit D = (4*), on a (4*)-7 = 1, 4*-° est une unité et 4* est un nombre 4. Réciproquement (4) représente un idéal qui est toujours un idéal D. Donc (voir le lemme p. 373.)

(24): (4) = (D: 19, (407 = ©: (0 = PEN, ((4) : (æ)) la justification de cette transformation venant de ce que (D : (æ)) est fini, comme nous allons le voir :

car tout idéal a est un idéal ©. Le second facteur est le nombre h, des classes de %£. Calculons le premier facteur. Pour cela, nous allons chercher la structure des idéaux D. Soit p un idéal premier du souscorps, et soit dans K, p—(%% P2...%,)* la décomposition de p en facteurs premiers. D se met sous la forme $f: R>°...P/1 D, où D, est premier à p, et Pi: Pr... Pv doit être lui-même un idéal D. Mais les opérations 0° permutent transitivement les idéaux $,; ce n’est donc possible que si ==... Or tout idéal (M: P2...P,)* se met et d’une seule manière sous la forme (3: P..$,)"a, où 0 <a’ <e,. Donc les idéaux D sont de la forme

Fe P..P,)"a,

le produit étant étendu aux idéaux premiers p de X qui sont ramifiés dans K; réciproquement tous ces idéaux sont des idéaux D. Comme d'autre part un idéal D ne se met que d’une manière sous la forme précédente, nous avons un système complet de représentants des classes de D modulo a, d’où (D: a) = /1e,, le produit étant étendu à tous les idéaux premiers p finis de X.

Reste à calculer ((4): (œ)). On désignera par E les unités de K, par H les unités de K de norme relative 1 par rapport à k&. On a ((4):(x)) — (4E:æE). Toute unité étant un nombre 4, ceci s'écrit encore (4: æË). L'opération 4 4'-° est un homomorphisme du groupe 4 sur le groupe #7. L'ensemble des nombres 4 tels que 47° appartienne au groupe E'-° est l’ensemble des «Æ£. Par suite

404 C. Chevalley.

, + ES 7 S a -] Or par définition, 4!-° est une unité, dont la norme est 4-7 4+9#:+0770

— 1, donc une unité H. Réciproquement, d’après le théorème de Hilbert, toute unité A est la puissance 1-6 d’un nombre de K qui est nécessairement un nombre 4. Donc

Chute He) — (ET: Le:

Nous avons donc:

È holle,

CORDES Transformons maintenant (D*:®(4)). Appliquons l’homomorphisme D* + D*-7: le groupe D? étant identique au groupe (8), il vient