D*: 2(4)) = (0): (4)77) = (8: AVE
car tout E est un nombre #. Appliquons maintenant l’homomorphisme 0 Nx:(0). En vertu du théorème de Hilbert, tout nombre dont la norme est de la forme N,,(Æ) est de la forme 4'°Æ. Donc,ona
(D* : D(4)) = (Nr (9) : Nxx (E )).
Or de (0)=D*!"" on déduit (Nxz (0))=D*4-0 Gte#.+e8 "D 1, donc Nx:(0) = €, € désignant les unités de k. Remarquons que la puissance n-ème. de tout € est un Nu(E), car € = Ny(e). Donc (£: Nx(E)) est fini et on peut écrire
DX D (E:Nx(E)) TE (1
holLe, RL Nrr(E))
d’où ot ER ’ (E: Nxx(0)) (H:E°)
Or le second facteur se laisse transformer au moyen du théorème des unités. Désignons par Æ les unités qui se laissent construire au moyen d’un système d’unités de la nature du système (s,, Æ,) construit à la fin du paragraphe précédent ; par JT le groupe des unités Æ dont la norme relative par rapport à k est 1. Comme le groupe contient R— 1 unités indépendantes, (E: Ë) est fini. Nous allons appliquer le lemme de Herbrand (voir p.375) dans le cas particulier suivant (se reporter à l’énoncé du lemime pour les notations) :
G: groupe des E; g: groupe des #,
T automorphisme E+ E°*; T; automorphisme E + N,,(E) ;
ñn groupe des €; 7: groupe des A.
On s’assure que les conditions d'application du lemme de Herbrand sont satisfaites. Désignant par & les unités de £ contenues dans le groupe É, on à Ci Na(E)) L (: Ne(E)) Che 25) CHR)
à condition que les deux indices qui figurent au second membre soient finis, ce dont nous nous assurerons en les calculant.
Nous allons maintenant rester dans le groupe Æ. Nous pouvons donc sans crainte de confusion supprimer les barres de surlignement. Tout élément du groupe se met sous la forme E, = eftef2 dr LAURE Nous pouvons toujours supposer que le groupe ne contient aucune racine de l’unité. Dans ces conditions une unité J7 H;(0) ne peut être
une unité € que si elle est égale à 1: car sa norme €" par rapport à X est 1#0Don0
(e: Na(E)) = (en er..enrrt : nee er) = n°7
Les unités €,,€,,...,e,, étant indépendantes, toute unité Æ se met sous la forme H — HAE, Le groupe de Galois étant cyclique, tout élément 0, + 1 est égal à 5"? (les notations 9;, n, et plus loin 9, 9, sont les mêmes que dans la démonstration du théorème des unités). Par suite f{o) est un polynome en o de degré n, — 1, et on a les relations
Ni— 1 HO P TE = 1,
dont toute autre est une conséquence. Ceci posé, si /7 est de la forme
E‘-°, on peut supposer que l'expression de Æ ne contient pas les &,. Alors
E=HNH9 Ei-s= 1480) Go) ê i .
‘ Ni A Dans la seconde formule, g(o) (1—a) doit, en remplaçant & * par 1, être ramené à être un polynome de degré < n, et on devra alors avoir
fito) — gi(o) (—o) — A(1— 0") = p{1+o+.… +a%TD),
où les À sont des entiers, car gi(o) est à coefficients entiers. Mais le premier membre est à coefficients entiers, donc p, est aussi entier. Ilen résulte f(1) = 0 (mod. n\. Réciproquement, si cette condition est réalisée, soit f, (1) = An, et
A(+o+... +o TD = hi(o) (10) + An
406 C. Chevalley.
D'où flo) = -o)fX(o) + A(L+o+... +045 {= 6)(0), f(o) est de la forme demandée.
Or chaque f{1) peut prendre (mod. »;), n, valeurs differentes. On en déduit (H: ET) = In
Or à varie de 1 à r, et n, = . si et seulement si 9, < à < p, + p». D'où (HER = ant
(E:Nux(E)) L 22 (CHE) n
et par suite
.ce qui donne finalement HE
7 nE:A De (8))
Remarquons encore que les nombres 4 sont caracterisés par le fait que
leur norme relative soit une unité. ÆEn effet un nombre dont la norme
est une unité représente un idéal À dont la norme est 1. bp désignant
un idéal premier de Æ, soit p = (% %...%,) la décomposition de p en g
facteurs premiers dans K; soit A = Il PA, À, étant premier àp. On peut supposer que & change R, en SC (i < g),et $ en . Ceci posé, la norme par rapport à k de ITR" doit être 1, d’où Li = 0. On peut donc trouver g nombres b, tel que a = b,—b,+1, en posant b,41 = à. On en déduit 11 PA = (IR) -S, ce qui démontre que X=W!-7. À étant principal, $ est un idéal D* et par suite A — (6).
