Chapitre V

Théorie des valeurs absolues et des corps locaux.

Corps à valeurs absolues. Suites convergentes. Limites.

Soit un corps quelconque k. Nous dirons que nous avons défini dans # une valeur absolue” si à chaque élément « de k nous avons associé un nombre réel g(a) non toujours égal ni à 1 ni à 0 satisfaisant aux conditions suivantes :

1) g(a) = 0, 2) g(ab) = p(a) x g(b), 3) (a + b) < g(a) + y(b).

De la propriété 2) résulte g(0) = 0 et que, si b + 0, on a g(b) +0. On en déduit g(+ 1) = 1.

Soit une suite (a,) d'éléments de k. On dit que cette suite a une limite égale à a quand pour tout nombre positif € il existe un entier % tel que pour nZm% on ait g(a — a,) <<. On s'assure facilement que :

Si les suites (a,), (b,) ont pour limites a, b, les suites (a, + b,),

(a,b,) ont pour limites a + b, ab; si b + 0, la suite ( . ) a pour limite

Une suite qui a une limite est convergente au sens du critère de Cauchy, c’est-à-dire que pour tout nombre positif « il existe un entier mo tel que, n étant un entier Z» et p un entier positif quelconque, on ait g(as, — an) <e. Mais la réciproque n’est pas vraie en général. Aussi appellerons-nous en général suites convergentes les suites qui satisfont au critère de Cauchy. Ilest facile de démontrer que :

Si (a,), (b,) sont des suites convergentes, il en est de même des suites (a, + b,), (@b,). Si la suite (b,) n’a pas pour limite 0, la suite eu est encore convergente.

Corps des suites convergentes.

Convenons de dire que deux suites convergentes (a,), (a) sont équivalentes, et écrivons (a,) — (a,/) si (a, — a) est une suite de limite

20) La notion de valeur absolue a été introduite pour la première fois par M. Ostrowski.

408 C. Chevalley.

0. On constate tout de suite que cette relation d’équivalence est réflexive, transitive, symétrique, que si (a) est équivalente à (a,/), et (b,) équivalente à (b,’), les suites (a, + b,), (a,b,) sont respectivement équivalentes à (a, + b,'), (a,/b,) et que, si (b,) n’est pas une suite de

limite 0, ( si ) est équivalente à ( “eo }

Nous rangerons les suites convergentes en classes, en rangeant dans une même classe toutes les suites équivalentes à l’une d’elles. Si 4, B sont deux de ces classes, si (a,) est une suite de À, et si (b,) est une suite de B, la suite (a, +b,) appartient à une classe qui ne dépend pas du choix de (a,), (b,) dans À, B: cette classe sera désignée par A+ B. On définit de même À — Bet AB. Les suites de limite O0 forment une

LE , Re A classe que nous désignerons par 0. Si B+ 0, on définit encore RS

L’addition et la multiplication que nous venons de définir entre ces classe jouissent des propriétés de l’addition et de la multiplication dans un corps. Donc nos classes forment un corps que l’on appelle fermeture du corps Æ par rapport à la valeur absolue considérée. Soit k ce corps.

Le corps k contient un sous-corps isomorphe à 4, formé des classes de suites convergentes qui ont une limite dans £. Nous considérerons FE comme un sur-corps de k.

Le corps Æ possède une valeur absolue qui prolonge celle de k, c’està-dire, qui pour tout élément de # coincide avec la valeur absolue précédemment définie. En effet soit («,) une suite convergente appartenant à une classe À. La suite des nombres y(a,) est convergente (critère de Cauchy). Soit æ sa limite. Nous poserons w(4) = &. On s'assure facilement que la fonction de À ainsi définie satisfait aux propriétés 1), 2), 8), De plus, si À est un élément a de k, on peut poser G = à, d'où (4) = (a).

Si À est un élément quelconque de Æ, et € un nombre Rain re He ilya PAS un élément a de k tel que g(A—a) <=

20b) D'ailleurs si (4) est une autre valeur ae de # nl Et la valeur absolue 4(a) de £, toute suite de nombres de # qui est convergente “ au sens de #(a) ” est aussi convergente ‘au sens ÿ’(&)” puisque dans Æ y'(a)=gp(a). Soit A un élément de # et soit une suite (a) de # telle que Jin (A — an) = 0. La suite (a) a “au sens w’(a) ” une limite 4’ dans la fermeture #* de # pour la valeur absolue #" A' ne dépend que de . A, et la correspondance À + 4’ est une isomorphie de k et de #* telle que ?’(4') = (À). En particulier si # est le corps des nombres rationnels, si g(a&) est la valeur absolue | a+, 0O<æ=1,k est le corps des nombres réels et on voit que toute valeur absolue # /(a) du corps des die réels qui est égale, pour à rationnel, à la valeur absoiue |a|4, est

donné par g(a) = las, a étant le nombre déduit de a par un automorphisme du corps des nombres réels.

Dans k toute suite convergente a une limite. En effet soit (4,) une suite convergente de #. Choisissons pour chaque n un élément a, de k tel que g(a,— A,) <e. La suite (a,) sera également convergente. Elle a pour limite dans & la classe À à laquelle elle appartient. Donc lim (4—a,)=0 et lim (4— 4,) = 0, ce qui démontre notre proposition.

Si par exemple Æ est le corps des nombres rationnels et si on considère la valeur absolue ordinaire, k est le corps des nombres réels.

Valeurs absolues du corps des rationnels.””

Cherchons quelles sont les diverses valeurs absolues possibles du corps À des nombres rationnels. Remarquons que, & étant un entier positif, et g(x) une valeur absolue, on a

Soit p un entier > 1 quelconque. Tout nombre a se met, et d’une seule manière sous la forme

1) @ = do + np +. +ap", 0 << p.

D'où Pa) £ g() + F(u)g(p) + + + p(a ep)".

Supposons @(p) < 1:on a g(a) <(n + 1)p. Remplaçons a par a’: n se trouve remplacé par un entier n'<(n+1)" et on a g(a) <((n+1}"+1)p, d'où g(a) <((n + 1) + 1)/#p/”, quantité qui tend vers 1 quand » + 00. Donc :

S’il existe un entier p > 1 tel que g(p) < 1, on a pour tout entier a, g(a) <1. Sialors g(x) n’est pas toujours égal à 1, il y a au moins un nombre premier p tel que g(p) < 1. Soit q un autre nombre premier; pour chaque n, il existe des entiers À, y tels que 2p" + pq" = 1, et o(4) < 1, g(u) <1. Si on avait y(g) <1, on pourrait choisir un

, d'où g(2p" + ug") < 1, ce

entier n tel que g(p") < et g(q") <

qui est impossible. Donc pour tout nombre premier qg+9p, on a eq) = 1. Soit p(p) = &; on a pour tout entier rationnel a + 0, (a) = &”, si a = pa, a premier à p. Le nombre « doit être < 1. En effet on peut trouver deux nombres a, b non divisibles par p tels que a + b soit divisible par une puissance p” de p aussi grande qu’on veut: la formule g(a + b)<g(a) + p(b) donne a < 2, d’où æ <1. Réciproquement, pour tout æ < 1, la fonction (a) donne une valeur absolue. Donc:

21) La théorie exposée dans ce paragraphe est due à M. Artin. Cf. Artin, Über die Bewertungen algebraischer Zahlkôrper, Crelle, 167.

410 C. Chevalley.

Théorème 1. wa) désignant dans le corps des rationnels une valeur absolue, s’il existe un entier a > 1 tel que ga) < 1 il existe un nombre premier p tel que, p' désignant la participation de p au nombre rationnel a (c’est-à-dire la puissance de p qui figure dans la décomposition de a en facteurs premiers), on ait

g(a) = æ, Fe RE Le

Les valeurs absolues ainsi définies seront appelées du premier type.

Envisageons maintenant l’autre cas, celui où pour tout entier a on a g(a)Z1. Soit pour un entier p positif quelconque, &(p)=p", 0<a<l. On a, en reprenant la formule (1),

gQ) £ (+ Lp(p))" = pn + 1Dp"< p(n + 1ja.

Soit p” la plus haute puissance de p qui est <@, on a (a) € p(n, + Da”.

Comme (n, + 1)” > 1 si »> co, on a o(a) <a. D'autre part soit a=p"" —0, d'où p(a)Z=p"*?—0o(b) On à b<p*— pr = pp — 1), PE) = pp — 1}, d'où g(a) = pp" — (p — 1ÿ) = Àp°", où À est un

facteur ne dépendant que de pet de æ. Ona @(a”) = 1p°%; or doù pr > Et

g(a”) = PL g(a) = ( = ÿra.

En faisant tendre » vers l'infini, il vient e(a) = a°, d’où g(a) = a. Donc :

Théorème 2. la) désignant dans le corps des rationnels une valeur absolue, si pour au moins un entier « on a g(a) > 1, on a, pour tout nomtre rationnel, g(a) = |a|", « étant un nombre compris entre 0 et 1.

Les valeurs absolues définies par le Théorème 2 seront appelées valeurs absolues du second type.

Considérons maintenant un corps algébrique X quelconque, et soit g(a) une valeur absolue dans & ; X contient le corps À, et © y induit une valeur absolue ç*. Nous supposerons d’abord que cette valeur absolue est du second type. La fermeture de R par rapport à cette valeur absolue est donc isomorphe au corps des nombres réels. Soit Æ la fermeture de k par rapport à la valeur absolue o: k contient un sous-corps À isomorphe au corps des nombres réels, et pour tout élément «& de Rona g(a) = |a|*, g désignant la valeur absolue de Æ qui prolonge celle de k,

et a l'élément correspondant à & dans l’isomorphie appliquant À sur le corps des nombres réels. Considérons &R. Ce corps est algébrique par

rapport à À. Mais R étant isomorphe au corps des nombres réels, ou bien kR = R, ou bien *R — K, K désignant un corps isomorphe au corps des nombres complexes. Dans le premier cas il existe une 1somorphie de k sur un corps de nombres réels, telle qu’on ait g(a) = |a|°, & étant l'élément qui correspond à l'élément a de % dans cette 1somorphie. Envisageons le second cas. Ona K = R(i), à étant solution de l'équation #° + 1 — 0, et tout nombre de Æ se met sous la forme a + bi, a et b étant dans À. Or,

a + bi = a +u( — + Pa } 4 V® + b TE

On sait que si +, y satisfont à &° + y = 1, si on pose (x + y) = X, + 1}, n étant un entier positif ou négatif, on a X?+ Yi—1; donc, o(X,+iY,)

reste borné quel que soit n, ce qui n’est possible que si g(x + y) = 1. On a donc

gta + bi) = (Va + bd} = |a + bil*.

Il en résulte que # est isomorphe à un corps de nombres complexs tel que & désignant le correspondant de a dans cette isomorphie on aït g(a) = |al*.

Donc :

Théorème 3. Si dans un corps algébrique k, une valeur absolue (x) est telle que g(a) > 1 pour au moins un entier rationnel a, il existe une isomorphie de k sur un corps de nombres algébriques telle que, à désignant le correspondant d'un élément a de k, on at

ga) = |a|”, Dal.

Corps locaux.

R désignant le corps des nombres rationnels et p un nombre premier positif, on désignera par R, la fermeture de R par rapport à la valeur absolue |a|= g(a) définie au Théorème 1 (fermeture qui ne dépend évidemment pas du nombre œ). Les éléments de R, s’appellent nombres p-adiques.

Soit (a,) une suite convergente de nombres de R. Donc si [a = a? les », convergent aussi, ou tendent vers l'infini. Dans le second cas on

412 C. Chevalley.

a lim a, — 0. Dans le premier cas les », sont tous égaux à partir d’un certain rang à un entier », et si lim a, = a, on a |a| = &’. Ce nombre v (indépendant de «) s’appelle ordre de a ; on le désigne s’il y a lieu par (a). On a

(ab) = 1(a) + :(b), (a + b) = min. (:(a), :(b)).

Désignons par X l’ensemble des éléments & pour lesquels (a) 0. Il en résulte que si 2 contient a, b, il contient aussi a — b et ab (on dit que Z'est un anneau). Nous appellerons les éléments de ' Les entiers de R,. Ces nombres sont en effet ceux qui peuvent être considérés comme limite d’entiers de R. On appelle unités de X les nombres a de X dont l'inverse appartient encore à ZX, donc les nombres d'ordre 0. Le nombre p est d'ordre 1, et par suite tout nombre de R, se met et d’une seule manière sous la forme p'e, » étant un entier rationnel quelconque, e une unité. Il en résulte que les seuls idéaux de ZX sont les idéaux (p”). (Rappelons qu’on appelle idéal un ensemble Æ de nombres qui est tel que si a, b sont des nombres de Æ, a — b soit dans E'; que, À étant un nombre quelconque de Y, ai soit dans E; qu’il existe un entier rationnel m tel que ma soit toujours entier.) Le seul idéal premier est (p). Z étant considéré comme groupe additif, X/( p') pour » positif, contient p” éléments, car tout nombre de R, est congru à un nombre rationnel (mod. p") quel que soit n (les congruences se définissent pour tout idéal dans un anneau exactement comme les congruences par rapport aux idéaux de nombres algébriques).

Soit Z le champ de Galois formé des classes de restes d’entiers rationnels modulo p. f(x) étant un polynome à coefficients entiers dans R,, Si on remplace chaque coefficient par l'élément de Z auquel il appartient, on obtient un polynome f*(x) à coefficients dans Z Ceci posé, il se présente le fait remarquable suivant :

J(œ) étant un polynome irréductible de R, il est impossible que f* (æ) se décompose dans Z en le produit de deux polynomes premiers entre eux de degrés > 0.

Supposons en effet que f(x) = g*(x)h*(x), les polynomes g*, h* étant premiers entre eux et de degrés > 0. Rappelons qu'on dit que deux polynomes sont congrus suivant un certain module quand les coefficients des termes de même degré dans ces polynomes sont congrus suivant le module en question. Ceci posé, on peut trouver des polynomes g1(x), (x) à coefficients dans R, tels que

Sur la théorie du corps de classes. 413 JG) = n(t)u(x) (mod. p); g%{x) = g*(x); M*(x) = h*(&). On peut de plus supposer que le produit des termes de plus haut degré de 1 M est le terme de plus haut degré de f.

Démontrons par récurrence que, pour tout entier » > 0, on peut trouver des polynomes 9,(x), h,(x) tels que

1) fe) = g,(x)h(x) (mod. p'); 9, (x) = 9%); R,Xx) = Rx), le terme de plus haut degré de f(x) étant le produit des termes de

plus haut degré de g,{x), h,(x). Supposons le théorème démontré pour tous les entiers < », et posons

2) Jai) RE g, (x) Le p'u,(&), ha(x) = h(x) + p'u(x),

et cherchons à déterminer u,(x), v,(x), de manière à avoir une congruence analogue à (1) pour l’exposant » + 1. Il vient

h(æ)u,(x) + 9, (x) (x) = fe) — 9,()h,(x) (mod. p). p° | Le second membre est un polynome #(x) à coefficients entiers de R,. La condition nécessaire et suffisante pour que la congruence soit satisfaite est que

3) h, “chu, *(x) + 9, (ju *(x) = p*(x).

Soient r, s les degrés de g{x), h(x). #*(x) est un polynome de degré <yr+s—1. De plus g,*(x), k,*(x) sont par hypothèse premiers entre eux. On sait qu’il est alors possible de déterminer des polynomes U*(%); v,*(x) de degrés respectivement plus petits que r et s donnant lieu à l'égalité (3), et par suite des polynomes u,(x), v,(x) de degrés respectivement plus petits que r, s donnant lieu à la congruence imposés. On s'assure tout de suite que les polynomes définis par les formules (2) satisfont à toutes les conditions imposées.

Il est clair que quand »+ oo, les coeflicients des polynomes gx), h,(x) convergent vers ceux de polynomes g(x), h(x) tels que f{x)=g(x)h(x), ce qui montre que f(x) n’est pas irréductible.

Ceci posé, considérons une extension algébrique # déduite de R, par adjonction d’un nombre satisfaisant à une equation irréductible dans EL, de degré n. Ces extensions seront appelées corps locaux.

Comme en théorie des corps de nombres algébriques on va définir les entiers de k comme étant les nombres de kX tels que l'équation normale à laquelle ils satisfont dans R, soit à coefficients ‘entiers.

414 C. Chevalley.

Désignons par f le plus petit exposant positif tel qu’il y ait une norme Na) d’un nombre de £ qui soit d’ordre f. Alors, l’ordre de la norme de tout nombre de % est un multiple de f; si M) est d’ordre f A(B), appelons À(8) l’ordre de 8. Ilest ‘ que À(B18:) = À(B:) + À(&). Nous allons encore montrer que :

Les nombres de k d'ordre Z 0 sont les entiers de k.

Il suffit de montrer que les nombres d'ordre = 0 sont des entiers, la reciproque étant évidente. Soit donc fun nombre tel que MB) soit un entier de R, Soit gx) = 0 l’équation irréduetible de premier coefficient 1 à laquelle satisfait 8 dans R,. Le dernier terme de cette équation est entier. Supposons qu’il y ait des coefficients non entiers : il existerait une puissance p* de p telle que tous les coefficients de p'g(x) soient entiers, l’un d’eux, et non le dernier, n’étant pas divisible par p. Donc on a p'g(x) = æ"(as + -..) + pY(x), et en vertu du théorème qu’on vient de démontrer, g(x) ne serait par irréductible ce qui conduit à une contradiction.

Soient , B: deux éléments quelconques + 0 de k, et supposons

par exemple 4(8;) = A(8). Donc Be est entier, et aussi 1 + Be et

1 Bi À(B + Be) = À(B:) + À (: + a ce qui démontre que À(@ + &) = min. (AB), A(B:)).

Donc l’ordre (x) que nous venons de définir dans # satisfait aux mêmes conditions que l’ordre :(x) que nous avions défini dans 2,, et nous pouvons raisonner sur lui comme nous l’avons fait sur 2x). Il y a un nombre 1 de k tel que A(/1) = 1, et tout nombre de Æ se met sous la forme 11, À étant l’ordre du nombre considéré, et € étant une unité, c’est-à-dire un nombre d’ordre 0. Les seuls idéaux de l’anneau des entiers sont les idéaux (/7*); le seul idéal premier est (77), qu’on désignera par p. En particulier (p) représente un idéal qui est de la forme p Si on appelle Ma) l'idéal engendré par les normes des éléments de a, on a

N°) = (pY°.

D'où, puisque Mp) = p", ef = n. e s’appelle exposant et f degré de bp.

On démontrera alors exactement comme dans la théorie des corps de nombres algébriques ordinaires que : il existe n entiers «1, ©, …, ©, de k tels que tout entier se mette, et d’une seule manière, sous la forrne Zaw;, à entiers de R,; de même, pour tout idéal a, il existe » entiers di, Any, @, de à tels que tout nombre de a se mette et d’une seule manière sous la forme Jaa;, les a étant des entiers de R,.

Il en résulte, (p) étant considéré comme un idéal dans # et comme sous-groupe du groupe additif des entiers, que toute classe de restes de k modulo p contiendra un nombre et un seu} de la forme J'aw,, les a, étant des entiers rationnels tels que 0 <a; <p. Donc le nombre de ces classes de restes est p". D'autre part, choisissons dans chaque classe de restes de k modulo p un nombre a; Toute classe de restes modulo p contiendra un nombre et un seul de la forme @* + &* 11 +... + a* 11°, les œ* étant choisis parmi les a, Il en résulte que le nombre des classes de restes modulo p est p"* = pf.

Enfin, la théorie du corps relatif est fondée sur les faits suviants: si k' est un corps local compris entre R, et k, soient p’ son idéal premier, e et f” l’exposant et le degré de p’, 1’ un nombre de k’ tel que p’ = (IT). Alors (11°) resprésente dans % un idéal p° et on a

(= pe = pi

Donc e/& = e. De plus la norme relative de k par rapport à k de 1] représente dans #’ un idéal 7, et de la formule MT) = Nr (Nu()), on déduit ff = f. Les nombres €, f sont appelés exposant relatif et degré relatif de p par rapport à k. On dit que p’ est non ramifié dans k (ou que k est non ramifié par rapport à k/), si e = 1; si f = 1, on dit que p’ est complètement ramifié dans k.7

Enfin remarquons que si &"® représente une valeur absolue de 2, (a) étant l’ordre de a, la fonction

(x) ae de"

représente une valeur absolue de k prolongeant celle donnée dans R,. C’est la seule. En effet, soit dans k, g(x) une valeur absolue telle que, si æ est dans R,, on ait gi(x) = g(x). Si x est entier, on a (x) Z1. En effet x satisfait dans RL, à une équation 2" + ax" +... = 0 à coefficients entiers. Donc, pour tout exposant N,ona 2° = Aix"! + As" 7° + … + À,, les 4, étant des entiers de R,, donc w.,(4;) <1. Donc, quel que soit N, (g(x))" est borné, gi(x) <1. Si x est une unité, g,(x) = 1, car x"! est encore un entier. Si done w;(x) n’est pas toujours égale à 1, ïl faut en vertu de l’expression des entiers de Æ que g.(A1) + 1 où /J est

22) La méthode ici employée pour définir les corps locaux et obtenir leurs propriétés est derivée de deux articles de M. Hasse: “ Über die Einzigkeit der beiden Fundamentalsätze des elementaren Zahlentheorie ”, Journal de Crelle, 155, 1926 et “ Über p-adische Schiefkôrper und ihre Bedeutung für die Arithmetik hypercomplexer Zah]systeme ”, Math. Ann. 104, 1931.

416 C. Chevalley.

un nombre tel que (H)=p. Mais on a p = /l°e, € étant une unité, gp) = &, d'où e(11) = æ/* et LA)

Pix) = P(IPPe) = œ°,

ce qui démontre nôtre proposition.

L'analyse dans un corps local.

Soit k un corps local.

Théorème. La condition nécessaire et suffisante pour qu’une suite (a,) soit convergente est que lim (au+1 — @,) = 0.

La condition est évidemment nécessaire. Supposons la remplie. Soit (x) l’ordre défini plus haut. Pour tout entier positif m il existe done un entier % tel que, si n=zM0 on ait Aa, —4)=zm. On a done œuy = 4, (mod*p") et par suite @, = ss = + = G,+, (mod. p”) quel que soit à. Le critère de Cauchy est donc verifié.

On en déduit que la condition nécessaire et suffisante pour qu’un produit infini A (1+a,) converge vers une valeur + 0 est que

Ha 410:

On a une proposition analogue au principe de Bolzano-Weïerstrass :

De toute suite (a,) bornée (c’est-à-dire telle que la valeur absolue de a, Soit bornée) on peut extraire une suite convergente.

En effet, la suite étant bornée, on peut trouver un nombre b tel que tous les éléments de la suite (ba,) soient d’ordre positif. Ceci posé, définissons par récurrence une suite $, de la manière suivante :

S,'est la suite (ba,).

S,-1 étant formée, il existe au moins une classe de restes (mod. p#) qui contient une infinité de nombres de $,.. Ces nombres formeront S.

Ecrivons toutes ces suites les unes’'au dessous des autres et prenons la suite diagonale. Ce sera évidemment une suite convergente extraite de la suite (ba,). La suite correspondante extraite de la suite (a,) est aussi convergente.

Nous allons définir dans £ des fonctions analogues aux fonctions exponentielle et logarithmique de l’analyse classique. x représentant un élément de k, cherchons la condition de convergence de la série

2 n L'p'o 2 LD ANOSEER RES 2! nl

Nous désignerons par Z l’ordre de x pour l'idéal premier p de k, par € l’exposant de p, par p le nombre premier contenu dans b; l’ordre de x" est Zn. Soit p’ la plus haute puissance de p ne dépassant pas n. L'ordre

de nl! est ARS PNR LA lea en, pi e(| ne ee )<e Pris

Done l'ordre de Hu est = n [x — € . : ; n! ner (pe)

Elle représentera une fonction

La série

sera donc convergente si Z >

que nous désignerons par exp On remarquera que si Z > )

non a

plan p}(

pr pd BD Pl Ep 1) ce qui montre que le terme est d'ordre > Y. Donc expz— 1 est n!

d'ordre 7.

On a exp (x + y) = expr-exp:,

car cette égalité se démontre en analyse par un calcul formel qui reste valable tant que les séries sont convergentes. Considérons maintenant la série

Soit x l’ordre de £ en bp, et soit n = p"n’ avec (n’,p) = 1. L'ordre en p de Ja est %n — eu. La série sera donc convergente dès que x > 0. n

Elle représente une fonction que nous désignerons par Log (1 + 6).

Remarquons que si æ est en p d’un ordre > ee expæ est = 1

(mod. p) et par suite Log(expzx) est défini. On démontre par un calcul formel que ce nombre est égal à x. Il en résulte que si %, % sont

= 1 (mod. plrl ‘Jona Log y = Log y + Log y.

D'autre part le seul nombre = 1 (mod. p Css J ) dont le logarithme soit

0 est 1. En.effet si x est d'ordre À en p et si 2 > : Fe exp est

418 C. Chevalley.

= 1 (mod. p*) mais non (mod. p\*'). Æ étant un nombre de # qui est tel que Log E = 0 (mod*p), et « un nombre de k = 0 (mod+p Er] ), on peut poser E* = exp (a Log E), car exp(a log Æ) est défini. Cette fonction jouit évidemment de la propriété Es+v — E‘ x Et.

D'autre part elle est toujours = 1 (mod. plp-i lt) si p est l’ordre de Log Æ. Soit X un nombre quelconque = 1 (mod. pl] *?). Posons - Log À

Log E

Donc x = 0 (mod*p Gb, et E* est défini. On a Log £*= Log X donc X = b".

La correspondance X+#x définit un isomorphisme du groupe (multiplicatif) des nombres = 1 (mod. pol ‘) et du groupe additif des nombres x = 0 (mod*p Gi] ).. Soit n un entier quelconque. Le

groupe des nombres qui sont = 0 (mod*”np Gil correspond dans cette isomorphie au groupe des X*. Il en résulte que pour tout entier n > 0, il y a un nombre x tel que :

Tout nombre de k qui est = 1 (mod. p*) est la puissance n-ème. d'un nombre de k.

Il en résulte en particulier que :

Le groupe des puissances n-èmes. des nombres + 0 de k est un sousgroupe d'indice fini du groupe des nombres + 0 de k.

Corps de nombres p-adiques.

Soit maintenant X un corps de nombres algébriques fini quelconque, et soit g(x) une valeur absolue de Æ qui induise dans le corps À des nombres rationnels une valeur absolue du premier type, relative à un nombre premier p. Soit k la fermeture de Æ par rapport à (x): k contient un sous-corps isomorphe au corps des nombres p-adiques, que nous désignerous par R,. Considérons £R,. C’est un corps algébrique fini par rapport à R,, done un corps local. Si

pour un nombre rationnel & on a g(a) = a", ;(a) étant l’ordre de a, on

#2 ® 212 —À 2 a nécessairement pour tout élément x de kR,, o(x) = &°"”, A(x) étant

l'ordre défini au paragraphe précédent dans un corps local, et e l’exposant de lidéal premier de £R,. Or, en vertu des propriétés de la fonction À(x), les entiers de k pour lesquels À(x) = 1 forment dans # un idéal p. Cet idéal est premier, car, x. et % étant des entiers, si &2% est dans p, de la formule Am) = A(x) + A(æ) résulte que l’un au moins des nombres À(x), Â(&) est = 1. D'ailleurs p est la partie commune à l'idéal premier de &R, et au système des entiers de 4. Le nombre (x) est alors défini de la manière suivante: x étant un entier de k, si (x) = pla, (a, p) = 1, on a (x) = À Donc:

g(x) étant dans un corps fini de nombres algébriques k une valeur absolue telle qu'il existe un entier rationnel p de valeur absolue < 1, il existe dans k un idéal premier p tel que, À(x) désignant l’exposant avec lequel p intervient dans la décomposition de (x) en facteurs premiers, on aît as 2 0 a 1.

Le nombre À(x) s’appelle ordre de x pour p.

La fermeture de k pour g(x) est d’ailleurs 4R,. En effet soit 0 un nombre engendrant k, et soit

ol HG DE... 0 2097

une suite convergente de nombres de 4. Les dénominateurs des nombres rationnels af” sont divisibles par des puissances bornées de p, car sans cela, la suite (w,) ne serait pas convergente. Donc, on peut de chaque suite a® extraire une suite convergeant vers un nombre a de HS @—= NME,,.0D8 |

w = aÙ a a0 + … L Fil: Ma

ce qui démontre notre assertion.

Ce corps kR, s'appelle corps des nombres p-adiques de %&. On le désigne par k,. Ce corps est un corps local, car c’est une extension finie de R,. Réciproquement Hensel a démontré que tout corps local pouvait être obtenu de cette manière.

Soit X un sur-corps de 4; soit $ un diviseur premier de p dans K d’exposant relatif €, de degré relatif f. Ky% est un sur-corps de degré relatif ef de %,. Cette proposition résulte du faït que e, f sont aussi l’exposant et le degré relatifs de l’idéal premier de X% par rapport à k,. Pour e, c’est évident. Pour f, c’est une conséquence du lemme suivant:

Tout nombre d'un corps de nombres p-adiques k, est congru (mod*p") à un nombre de k, quelque soût n.

En effet soit « un nombre de #, et a = lim a,, a, étant dans k#.

420 C. Chevalley.

T’ordre de a — «a, augmente indéfiniment avec n, ce qui démontre la proposition. | UE

Remarquons qué si n est assez grand, l’ordre de a, est égal à l’ordre de a. Soit À ce nombre. Choisissons n/ assez grand pour que ay — à soit d'ordre = n + À: on aura aussi a = a, (mod. bp"). Donc, dans la proposition précédente, la congruence additive peut être remplacée par une congruence multiplicative. |

Supposons Æ relativement galoisien par rapport à Æ& Soit G, le groupe de décomposition de %, et soit « une opération de G,. Si la suite (a,) de nombres de Kest convergente dans Ky et a pour limite a, la suite 94, est aussi Convergente et a pour limite un élément oa. La correspondance a o& est un automorphisme de X laissant invariants les nombres de k,. En effet, la correspondance conserve la somme et le produit, et est évidemment bi-univoque en vertu de l'existence de 471. On obtient ainsi ef automorphismes distincts de Æ Comme X% est de degré relatif ef par rapport à k,, on obtient ainsi tous ses automorphismes. Donc:

Si K est galoisien par rapport à k, le groupe de Galois de Ky par rapport à k, est isomorphe au groupe de décomposition de $ dans l'extension

La théorie du groupe d'inertie s'étend sans en changer un mot aux extensions de corps locaux.

La théorie des restes normiques.

Soit un corps de nombres algébriques fini X et soit dans # un module m quelconque. Soit K une extension finie de 4 Un nombre a de k est dit reste normique (mod. m) de K quand il existe un nombre À de K'tel que & = Nxx (4) (mod. m).

Théorème. X élant extension galoisienne de k, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre æ de k soit reste normique de K (mod. p"), P étant un idéal premier de k, et n un exposant positif quelconque, est que &, considéré comme un nombre de ky, soit norme relative par rapport à k, d’un nombre de Ky, $ désignant un facteur premier de p dans K.

1) Supposons qu’il existe un nombre À de K% tel que

À, = À (mod. R"°), À) = 1 (Q").

Si s est une opération du groupe de Galoïs de X appartenant au groupe de décomposition G, de B, on a &4, = a A (mod. $"*); si so n'appartient pas à G, on a 04, = 1 (mod. $“*). En faisant le produit de ces congruences, on obtient

Nr A4) = NKgky (4) = æ& (mod. 4°).

Les termes extrêmes de cette congruence étant dans k, la congruence à lieu (mod. p”).

2) Supposons que pour chaque n il existe un nombre 4, de K tel que & = Nr 4,) (mod. p"). G étant le groupe de Galoïs de Æ par rapport à k, choisissons g éléments 0, &, .…., «, de ce groupe tels que tout élément du groupe se mette et d’une seule manière sous la forme to, T étant dans G;. Posons

g 25 = IT CA n i=1 On a MulA) = Nryk (4%) = & (mod. RP“). Il en résulte que la suite A) est bornée. On peut donc en extraire une suite convergeant dans Kx vers un nombre À, et on à « = Nrwy(A4), ce qui démontre le théorème.

k étant un corps local, on appelle groupe associé à K dans Æ le croupe des nombres + 0 de k qui sont normes relatives par rapport à Æ de nombres de Æ L'étude de ce groupe associé fera l’objet de la théorie du corps de elasses local. Nous allons maintenant considerer le cas où K est relativement cyclique par rapport à k.

- Extensions cycliques des corps locaux.

Soient k un corps local, K une extension relativement cyclique de k. On désignera dans ce paragraphe par

a les nombres + 0 de k; € les unités de k,

À les nombres + 0 de K; E les unités de K,

H les nombres de K de norme relative 1 par rapport à k,

os une opération dont les puissances engendrent le groupe de Galois

de Æ par rapport à k, p l’idéal premier de k; Ÿ celui de X; on posera

p=, AB =p, =

Le -un nombre de # tel que pb = (&); 1 un nombre de K tel que

Ps [no]

On se propose de déterminer l'indice du groupe associé à K dans k. Remarquons d’abord que cet indice est fini, car la puissance n-ème. de tout nombre de # appartient au groupe associé.

L'indice cherché est (@œ: MNxA)), c’est-à-dire (æ'e: Ne UE). Soit NUIT) = œ'&; l'indice précedent s'écrit (œ'ew : œNxy(E)), ou encore

(ee : me) (we : meoNx E)).

Le premier facteur est evidemment égal à f. Le second est égal à (ec: Nx(E)). (C’est ce nombre que nous voulons calculer.

À cet effet, remarquons qu’il existe dans Æ un sous-groupe d'indice fini du groupe des Æ, qui est isomorphe au groupe additif des entiers de

K°= 0 (mod*$°), x étant un entier assez grand. En effet, si & > Ja

fonction Log Æ définit une isomorphie du groupe multiplicatif des nombres = 1 (mod. %°) avec le groupe additif des nombres = 0 (mod.+ AS D’autre part, on a demontré qu’il existe une base relative de K par rapport à Æ formée d’un nombre ® et de ses conjugués. Mettons un

n—1 k entier de X sous la forme AU Les dénominateurs des «, ne sont CHEN . Lt , 2 divisibles que par des puissances de p qui restent bornées pour tous les

entiers. IÎlen résulte qu’il existe un entier x tel que tous les nombres Za«ill”97, où les &, sont des entiers de k, soient = 0 (mod*#$°), et le groupe additif formé par ces nombres est un sous-groupe d'indice fini du groupe additif de tous les nombres = 0 (mod*$®). Posons

Ey = exp(11* 0)

et désignons par Æ’ tous les nombres de la forme BE fo) étant un polynome à coefficients entiers dans k. D’après ce qu’on vient de dire, le groupe E” est un sous-groupe d'indice fini du groupe des Æ.

Ceci posé, nous allons appliquer le lemme. de Herbrand avec les conventions suivantes : j

G: groupe des Æ; g: groupe des E",

Ti: automorphisme £+ E'-°; 7, : automorphisme E£+ Nxy(E),

n° groupe des € ; 7:: groupe des 7.

Il vient

(e: Nxi(E)) es (/: NuitE))

(HR) | REA où = [e, E’], H'= [H,E']. La formulé est valable si les deux indices qui figurent au second membre sont finis, ce que nous allons prouver en les calculant.

Remarquons d’abord que par suite de la définition de 9, il n’y a aucune relation de la forme Æ/® = 1, si f(o) est de degré Zn — 1. Cherchons les unités &”’: si &’ — Æ,/° on doit avoir EE," = Ejf9, avec f(o) de degré au plus n — 1. Ce n’est possible que si flo) (1 — &) = p (1 — 6") avec un nombre p nécessairement entier. Donc jf(o) = PL +0 +... +o""t)et [6 : NyE')]= 1 De même si H'= EH, on a fo) (1 + 6 +... + 071) = g(o) (1 — 0"), g(o) étant à coefficients entiers. Donc f(o) = (1 — a).g(o) et par suite (H’: E7°) = 1. On a donc

(e: NufE))= (H: 5).

Or le second membre se laisse calculer facilement. D’après le théorème de Hilbert, le groupe Æ est identique au groupe 47°, c’est-à-dire au groupe H"4- f1-°. Soit I1'-° = H,,et soit H$ la plus petite puissance de H, contenue dans le groupe E*°. On a donc

TEST CNT =, OUI) = (ey Le plus petit nombre repondant à la question est donc €. D'où (e: Na E))= (H: ET) — e,

(@ : Ne A))= = n.

Donc :

Le groupe associé dans un corps local k à un sur-corps relativement cyclique K est dans le groupe des nombres + 0 de k d'indice égal à (K:k).

De plus, nous avons montré que :

Le groupe des normes d'unités de K° par rapport à k est dans le groupe des unités de k d'indice égal à l'exposant par rapport à k de l'idéal premier de K.

On remarquera enfin qu’il existe un module p° tel que tout nombre = 1 (mod. p*) soit norme relative d’un nombre de Æ: car il existe un module p” tel que tout nombre = 1 (mod. p“’) soit puissance n-ème. d’un nombre de k.

424 C. Chevalley.