Chapitre VI

Théorie du Corps de Classes.

Nous sommes maintenant en mesure d'aborder le problème de la théorie du corps de classes, c’est-à-dire celui de la décomposition d’un idéal premier d’un corps de nombres algébriques fini dans un sur-corps relativement abélien.

Au cours de ce chapitre nous désignerons par # un corps fini de nombres algébriques quelconque. Le problème sera résolu quand nous aurons démontré les deux théorèmes suivants :

Théorème A. K étant un sur-corps relativement alélien de k, soit d le discriminant relatif de K. Il existe dans le groupe A des idéaux de k Premiers à d un sous-groupe H jouissant des propriétés suivantes :

1) p éfant un idéal premier de k, premier à d, p' étant la plus petite puissance de pb contenue dans H, b se décompose dans K en idéaux premiers de degré relatif f.

2) le groupe A/H est isomorphe au groupe de Galois de K par rapport

Théorème B. 1) existe un module mn composé d'idéaux premiers de k ramifiés dans K, tel que H soit groupe de congruence (mod. mo).

2) m étant un multiple quelconque de no, le groupe H, des idéaux de IT premiers à m est le groupe des classes d’idéaux (mod. m) qui contiennent des normes par rapport à k d’idéaux de K. |

Le théorème B nous apprend que le groupe H visé au théorème A est un groupe de congruence. Nous dirons que le corps X est corps de classes par rapport à £ pour un groupe A” de congruence si ce groupe est égal à FH.

Nous avons dit que la première définition générale du corps de classes avait été donnée par Weber. Dans le langage ici employé, cette définition équivalait au fait qu'il existe un groupe }7 satisfaisant aux conditions du théorème A et à la condition 1) du théorème B. On voit que dans cette définition le groupe n'était pas donné explicitement. C’est pourquoi il n’a pas été possible de fonder la théorie du corps de classes sur cette base : on manquait de point de départ et d'orientation dans les raisonnements à faire.

La méthode de Takagi a été la suivante: il considère le groupe défini sans ambiguité au théorème B et appelle X corps de classes quand l'indice de ce groupe de congruence est égal au degré relatif de K par rapport à &. Il montre que tout corps abélien est corps de classes en ce

sens, et peut ensuite démontrer que le groupe défini au théorème B répond encore aux conditions du théorème A.

Le succès de la méthode de Takagi provient donc du fait que l’on a un groupe bien déterminé sur lequel on peut raisonner pour montrer qu’il possède telles ou telles propriétés.

Depuis Takagi, le plus gros progrès de la théorie fut dû à M. Artin, qui a démontré la loi générale de réciprocité, qui s’énonce ainsi:

K étant corps de classes par rapport à k pour le groupe H, p désignant

un idéal premier de k mon ramifé dans K, le symbole de Frobenius (

ne dépend que de la classe (mod. H) à laquelle appartient p. Si bn appartient à la classe À, bp: à la classe R:, p: à la classe BR, on à

oe ( Ps Pi ( pe } Ce théorème joue un rôle fondamental dans la théorie et ses

applications. C’est de lui que nous partirons ici pour construire la théorie du corps de classes.

Il nous faut d’abord définir le symbole (Æ ) pour un idéal non

premier. Pour cela, supposant a premier au discriminant relatif de K par rapport à k, nous décomposerons a en facteurs premiers: a = 1] pi î

et nous poserons ( a) … af a h

Cac

Donc les idéaux a tels que ei — 1 forment un groupe. C’est ce a

Il en résulte

groupe que nous appellerons Groupe de Artin associé à Æ dans k.

Nous montrerons que le groupe de Artin satisfait aux conditions des théorèmes A), B), ce qui démontrera son identité avec le groupe défini au théorème B, que nous appellerons désormais Groupe de Takagi, et par suite la loi générale de réciprocité, car pour un idéal a quel

conque, il est évident que . ne dépend que de la classe à laquelle a

appartient a suivant le groupe de Artin.

Remarquons encore qu’en vertu des propriétés du symbole de Frobenius, il est clair que le groupe de Artin satisfait à la condition 1) du théorème A. D'autre part, & étant une classe de A (mod. H) la

426 Ô C. Chevalley.

correspondance RÀ + & = Ce} a étant un idéal de la classe À, définit a

un isomorphisme de 4/H avec un sous-groupe du groupe de Galois, formé de toutes les substitutions « telles qu’il existe un idéal a pour lequel

( £) — 9. Si donc nous montrons que pour toute opération a il y a un es # tel idéal a, le théorème A sera démontré.

Remarquons encore que, m désignant un multiple quelconque du discriminant relatif de X, 4, le groupe des idéaux de premiers à m, Hy = An AH], le groupe Ax/Hn est encore isomorphe à un sous-groupe du groupe de Galois relatif de K.

Propriétés du groupe de Artin.

On peut étendre au symbole ( les propriétés de la substitution a

de Frobenius. Soient X, K’ deux sur-corps relativement abéliens de #, et soit a un idéal de Æ premier aux diseriminants relatifs de ces deux corps.

Do kC ÆC'K on4

CAE) a a

2) Le groupe de Galois de KK’ étant considéré comme sous-groupe du produit direct des groupes de Galois de K, K’,ona

KK\ (K\/K ( a ) " ( a ) ( a )

Il suffit, pour démontrer ces propriétés, de décomposer à en facteurs premiers et d'appliquer les propriétés correspondantes de la substitution de Frobenius. Il en résulte que :

1) Si À’C K, le groupe de Artin associé à K” contient le groupe de Artin associé à K.

2) Le groupe de Artin associé à KK’ est la partie commune aux groupes de Artin associés à K, K’.

Soit 4’ une extension finie quelconque de Æ. Soient p un idéal premier de k non ramifié dans K, q un facteur premier de degré relatif J de p dans 4’. On a vu (p. 387) que

ce (22)

Nous pouvons maintenant écrire cette formule sous la forme

qui se prète immédiatement à la généralisation : si À est un idéal de 4’ tel que N,,(A) soit premier au discriminant relatif de K, on a

nee

D'où résulte que: les idéaux premiers au discriminant relatif de K par rapport à k du groupe de Artin associé à Kk’ dans k’ sont ceux dont la norme par rapport à k est dans le groupe de Artin associé à K dans k.

Démonstration du théorème A.

Soit À un sur-corps relativement abélien de k, et soit G le groupe de Galois de ÆX par rapport à £. On a vu que, pour démontrer le

théorème A, il suffit de prouver que pour toute opération s de Gil existe un idéal a de X tel que Es = 6. Or il suffit de le prouver dans le cas

où l’ordre de s est la puissance d'un nombre premier: car, nous avons vu que toute opération o d’un groupe abélien se laisse décomposer en produit d'opérations o, dont les ordres sont des puissances de nombres

premiers. Si ) = 0,1. 0104 ( K )= 5. Supposons donc que î Qi l’ordre de os soit une puissance de nombre premier, p°, et soit k’ le sous-corps de K appartenant au groupe engendré par +. Donc, K'est par rapport à k’ un sur-corps relativement cyclique dont le degré est la puissance d’un nombre premier. Or nous montrerons plus loin“ que dans ce cas, étant donné un idéal quelconque, il y a un idéal premier, ne le divisant pas, qui reste premier dans Æ. Soit q un tel idéal, que nous supposerons premier au discriminant relatif de K° par rapport à k. Donc (#®) engendre le groupe de Æ par rapport à %’ et par suite q CR (€) Donc

-(E) Mr(q°) en vertu de la troisième propriété du symbole (£ ) donnée au paragra-

phe précédent, ce qui démontre le théorème.

24) Voir p. 442.

428 , C. Chevalley.

Conséquences.

On remarquera qu’il résulte de la démonstration précédente que pour chaque opération os du groupe de Galois, il existe un idéal a

premier à un idéal donné m à l’avance quelconque et tel que (=)- o.

Il suffit de choisir les idéaux a; premiers à l’idéal donné. Il en résulte que, m désignant un multiple quelconque du discriminant relatif de K, An le groupe des idéaux de Æ premiers à m, Æ, le groupe des idéaux de H premiers à m, le groupe 4,/H, est isomorphe au groupe de Galoiïs de K par rapport à K.

Soient K, K’ deux sur-corps relativement abéliens de k, et H, H” les groupes de Artin associés à ces deux corps. Supposons AC H’. Ilen résulte [ 4H, H°]= H. Soit d le discriminant relatif de KK’. Les groupes 45/[H, H']5 et Ai/Hi sont respectivement isomorphes aux groupes de Galois relatifs des corps KK° et K. Il faut donc que KK” C K, c'est-à-dire que K7C K. Nous avons déja montré p. 426 que, réciproquement, la condition K° C K entraîne H° D H Donc:

K et K” étant deux sur-corps relativement abéliens de k, H et H les groupes de Artin associés dans k à ces corps, les conditions HC H' « K°'C K sont équivalentes.

Nous dirons que plusieurs sur-corps de k, K;, K,,..., K, sont étrangers les uns aux autres par rapport à k quand le degré relatif de leur corps composé est égal au produit des degrés relatifs des composants. Sir=—2, et si l’un des corps est galoisien par rapport à k, la condition est équivalente à la condition [K,, K] = k.

Les X; étant des corps étrangers par rapport à Æ (à = 1, 2,...,r), et relativement abéliens, soit Æ7, le groupe de Artin associé à K. L'indice dans le groupe des idéaux de Æ premiers au diseriminant relatif de K K,...K, de [H, H,.…, H,] est égal au produit des indices des groupes A; des idéaux des 7, premiers à ce discriminant relatif. Ilen résulte que si on prend pour chaque à une classe &, (mod. H), la partie commune à toutes ces classes est un ensemble qui n’est pas vide, et qui contient même des idéaux premiers à un idéal donné quelconque.