Chapitre VII
Les corps circulaires.
Dans ce chapitre, k désignera encore un corps de nombres algébriques fini quelconque.
On appelle corps circulaire par rapport à k un sur-corps Æ(£) de k engendré par adjonction d’une racine de l’unité.
Soit R le corps des nombres rationnels, et supposons que £ soit une racine m-ème. de l’unité. Le groupe de Galois de #(£) par rapport à k est un sous-groupe du groupe de Galois de R(£) par rapport à R. Donc:
K(£) est un sur-corps relativement abélien de k; son degré relatif divise p(mY}”; si m = q" est une puissance d’un nombre premier q + 2, ce corps est relativement cyclique par rapport à k.
Constitution du groupe de Artin.
k(£) étant un sur-corps circulaire de k engendré par adjonction d’une racine primitive m-ème, de l’unité, le discriminant relatif de X(£) ne contient que des facteurs premiers de m. En effet, il en est ainsi du discriminant de l’équation x" — 1 = 0.
Nous allons chercher quels sont les idéaux premiers à m qui appartiennent au groupe de Artin. À cet effet, considérons d’abord un
idéal premier p de Æ ne divisant pas m. Soit ei = ODA ot = LE (mod*p).
Mais of, comme conjugué de {, est une puissance £* de £. D'où CAEN) = 0 (mod*p).
£“ étant une unité, est premier à p. Donc le second facteur est divisible mt par pb. Or, si ce facteur est + 0, il divise 1 (1—{*), produit qui est égal îi=1 à as) — m, donc non divisible par p. Donc le second facteur est T— æm0 nul, eton a
== ND) oÛ = ET.
25) Rappelons que g(m) est la fonction d’Euler donnant le nombre des entiers positifs < m» et premiers à m. Que le degré de R(£) par See à R divise g(m) est facile à voir, car tout conjugué de £ est de la forme £°, (a, m)=
430 C: Chevalley.
Cette équation détermine d’ailleurs o. Il en résulte, pour un idéal a entier premier à m, que
LE
(Eee
a L'idéal n’appartiendra au groupe de Artin que si £Ÿ® = f, ce qui exige (1) Ma) = 1 (mod. m).
Si a n’est pas entier, soit a = a’ a””", a’, a” entiers et premiers à 1m. La
condition nécessaire et suffisante pour que a appartienne au groupe de
Artin est que e: = ET d'où Ma’) = Ma”) (mod. m), et Ma) =1 " 5 RD CE ASC Sets
(mod.m). Pie RENTRER | ne, Donc les idéaux premiers à m du groupe de Artin sont ceux qui satisfont à la condition (1).
Corps absolument circulaires.
R désignant le corps des nombres rationnels, soit { une racine primitive m-ème. de l’unité. Les idéaux premiers à m contenus dans le groupe de Artin associés à R(€) dans R sont les idéaux (a) tels que [a| = 1 (mod. m)°, ce qui permet de retrouver immédiatement la loi de décomposition des nombres premiers dans ÆR(f). Ce groupe de Artin est d'indice g(m) dans le groupe des idéaux de R premiers à m. Donc R(£) est de degré au moins égal à@(m). D'autre part un automorphisme o de ce corps change £ en £“ avec (a, m) — 1. Donc le nombre de ces automorphismes est au plus g(m), ce qui montre que A(£) est de degré o(m) (ce qui fournit une démonstration de l’irréductibilité des équations de division du cercle). Soit Dix) = 0 l'équation irréductible à laquelle satisfait £.. Ona
Pr) = Hfe—%); (a, m) = 1, 1<a<m.
Comme x%"— 1 = Hire) 0<akm,ona (1) a" 1 = I Dix), à
d parcourant les diviseurs de m. D'ailleurs cette formule détermine de proche en proche tous les Ÿ;(x) d’une manière univoque.
26) Soit p« l'idéal premier infini de R. Le groupe de Artin associé à R(£) dans R donneun'exemple de groupe de eongruence définissable modulo mp, mais en général pas modulo m. :
Introduisons la fonction (x) de Môbius: x étant un entier, on a u(x) = 0 six est divisible par le carré d’un nombre premier, px) = (—1Y si æ est pronnie de-2 nombres premiers distincts, #(1).= 1. Montrons que
PE Il nu x ‘dd: diviseur de m.
Il suffit de montrer que ce polynome satisfait à l'équation ‘ÿ Pour cela formons :
; IT H(x°—1) CG) d diviseur de m, d’ diviseur de d.
da d Chaque facteur x*— 1 intervient avec l’exposant © af S ) d parcourant d
les multiples de d’ qui sont diviseurs de m; cet exposant est égal à
2 E px), Le les diviseurs de . On vérifie tout de suite que
cette somme vaut 0 sauf si et = 1, RP cas elle vaut 1. Donc le
facteur 2"—1 reste-seul En particulier si 4 est un nombre premier,
Do(x) = RS ARRET EA ERA PA L'on li
Considérons dans ce.cas le nombre 1—#.. Soit os un ENS du groupe de Galoïs changeant € en #*, et soit a un entier tel que aa’ (mod. g”). Les nombres EE et Fe — = . )” sont des entiers, donc des unités. Donc (1—£) représente un idéal invariant par les opérations a. D'autre part M1—E) = Da(1) = q, donc l’idéal (1—€) == q est premier du premier degré et on a (g) = q#(9°).
Remarquons enfin que le groupe de Galoïs de R(£), où £ est une racine primitive. m-ème. de l’unité, est isomorphe au groupe 4/H, A désignant le groupe des nombres rationnels positifs premiers à m, H le sous-groupe, de À formé des nombres = 1 (mod. m). Si m est de la forme g", q premier, ce groupe est cyclique, sauf si g = 2, « > 2, auquel cas il est produit direct d’un groupe d’ordre 2 et d’un groupe cyclique d'ordre 27°.
Application. Loi quadratique de réciprocité.
Considérons un nombre premier p positif et = 1 (mod. 4. Le corps A(V p,) est contenu dans le corps des racines p-èmes. de l’unité. En effet, le corps des racines p-èmes. de l’unité, qui est cyclique de degré
432 C. Chevalley.
p—1 contient un sous-corps quadratique, dont le discriminant ne peut être divisible que par p, done qui est R(yp}). Soit q un nombre premier quelconque + p; pour que qg se décompose totalement dans
E(4p ), il faut et suffit que le éorps de décomposition de q dans le
corps Z des racines p-èmes. de l’unité contienne R(4/p ), done que «5
soit dans le sous-groupe du groupe de Galois de Z auquel appartient R(vp). Ce sous-groupe est le groupe formé des carrés des opérations du groupe. Les nombres q répondant à la question sont donc ceux tels
que (2 —— 9”, ( Z ) = T, q zT
q = & (mod. p).
donc
Mais l’étude élémentaire de la théorie du corps quadratique montre aussi que la condition nécessaire et suffisante cherchée est que la congruence p = # (mod. q) soit résoluble. Ces deux conditions sont donc équivalentes, et par suite :
p et q étant deux nombres premiers positifs dont l’un est = 1 (mod. 4), si p est reste quadratique de 9, q est reste quadratique de p.
Nous avons obtenu la loi de réciprocité en comparant la loi de décomposition fournie par la théorie du corps de classes avec la loi de décomposition qu’on obtient de manière élémentaire. Cette méthode est générale et conduit dans les cas plus généraux aus loïs de réciprocité généralisées.
Un théorème d'existence.
Nous aurons besoin du théorème d’arithmétique élémentaire suivant :
Soient p, n deux nombres positifs, p > 1, n > 2. Il existe un nombre premier q divisant p"—1, mais non p"—1 pour n<n, sauf si p = 2, Fm 07,
Remarquons d’adord que si g divise p"—1 et p"— 1 il divise aussi (p"—1)-p""" (p"—1) = p""—1: Donc, par application de l’algorithme d'Euclide, il divise pf—1, où d=(n,n). Il nous suffira donc de prouver qu'il y à un nombre premier q tel que q divise p"—1 mais
27) On trouvera une autre démonstration de ce théorème dans: ‘“Birkhofîf et Vandiver, On the integral divisors of &*—b",” Annals of Mathematics, 1902-83.
< : d » TS OC La Q aucun des nombres p*—1, d étant un diviseur de n différent de n. Soit £ une racine primitive n-ième de l’unité. Ecrivons
p=1= (p-1)(p-r)(p-e).. (pe.
Si nous pouvons prouver qu’il existe un idéal premier q divisant p—f, mais ne divisant aucun des nombres p—{“ où (a, n) > 1, nous aurons démontré le lemme, car le nombre premier q divisible par q répondra à la question. Or, soit q un idéal premier divisant p—# et pt".
Ecrivons :
(1) De (pe) NET), q doit done diviser £‘77—1. Ce n’est possible que si - 1: cest
(a—1,n puissance d’un nombre premier. En effet, si u divise v, £"—1 divise LA
€’—1. Donc si { est nn diviseur de “1 divise £ “ —1
(n,a—1) qui divise & Donc si é ë 5 a plusieurs facteurs premiers distincts, est est une unité.
Dour 2 ne qu’un facteur premier q qui ne peut être que le
(n,a—1) nombre premier contenu dans q, et q divise n: n=q"n, (n’,q) = 1.
Soit K le corps R(£), R étant le corps des rationnels, et soit K7 le corps R(ET). GG désignant le groupe de Galois de Æ(£), K° appartient au groupe des substitutions a de G telles que
É nt Us, ù = (mod. ) q Soit G; le groupe de décomposition de qg dans K, et soit « une opération de G, changeant £ en £", donc p—£ en p—€£". Ilen résulte que p—£* sera divisible par q, donc que un est une puissance de g. Donc n,u—
u—1= — Be et u = 1 (mod. es) Gz est contenu dans le q q
groupe de Æ par rapport à K’ et q se décompose dans X” en idéaux
premiers du premier degré distincts. D'autre part K est de degré w(q°) par rapport à K’ (il résulte de X’ par adjonction des racines q“-ièmes. de l’unité et n est premier à q) et q doit être divisible par q9(9*, car K contient le corps des racines g“-ièmes de l’unité (voir p. 431). Par suite, Ky étant le corps d'inertie de g,ona (K:K7)Zg(q°) Mais Kr D Kz et K; contient K. Comme (K:K')= g(q"), on à Kr = Kz = K. Donc q est un idéal du premier degré, et q se décompose dans en
434 C. Chevalley.
idéaux distincts du premier degré. Donc, en vertu de la loi de décomposition dans K7, q = 1 (mod. #’}. Donc £9-1 est uné racine q*ièmé de l’unité, et £4*—-1—1 est divisible par q. En vertu de (1), p—#9 est aussi divisible par q. | Si g+2 le groupe G; est cyclique. - Il Fo. un NE o changeant £enç*aveca=T ee F1( Fe app
est donc une racine primitive “ième de l’unité. Il en résulte que (1—E"?) n’est divisible que par la première puissance de q et en vertu de la formule (1) il en est de même de p—6. Si q = 2, n est pair, K est le corps des racines n-ièmes de l'unité, #’ étant impair, et 2 doit se Dont totalement: D'où 2 = 1{(imod.»’), ce qui est impossible sin #1. Donc n = 2", et. « > 1 puisque n > 2, et G, est identique au groupe de X. II comporte une cesse ç changeant # l'en LC UE €—1 est divisible exactement par d’, donc p—{ n’ést pas divisible “par une puissance de q supérieure à 2.
Enfin, si q” est un facteur premier de q diférent de q, soit q — 97 q. Donc o n'appartient pas à Gz. Si of = €", £*-1—1 n’est pas divisible par q. Or si p—€ était divisible par q’, o(p—€) = p—#" serait divisible par q, donc aussi £*-!— 1, ce qui n’est pas. |
Donc: si p—£ a avec un nombré p—#* un facteur premier q commun, p—£ n’est dvisible par aucun des conjugués de Fe la contribution de q à p—£ est q si q est impair, au plus q° si q = 2, le nombre q est nécessairement le plus grand facteur premier de n (comme il résulte
ñn
do g= 1 (mod. © =} qui donne > ÿentin l'idéal q est du premier g g
degré.
Si donc p—{f n'avait que dés facteurs prémiers de cette espèce, (p—€) devrait $e réduire à un idéal premier q, où, si n = 2", au carré d’un idéal-premier. Désignons par A{m) la norme de p— 6, 0 étant une racine primitive m-ème. de l'unité, là norme étant prise de R(0) à Supposons d’abord que n+q". ‘Alors on devrait avoir F\n) = F(n') = 0 (mod. q), car q divise p—#t Or An) se laisse Ma Si ®,(x) = 0 est l'équation irréductible à laquelle satisfait (On a An) = 9,(p) et
D) = 11 Qt 10) d': diviseur de #», (x) désignant la fonction de Môbius. D'où
PP) = H(p* —1y 0)
Sur la théorie du corps de classes 435 Remplaçons les facteurs p°— td pour lesquels HE à )< 0 par p{ les facteurs p°—1 pour lesquels # (es > O«par p. Remarquant que le degré de (x) est o(n), et que 1 SoMmo des (7) pour ee l É > 0 est Qm m désignant le nombre des facteurs premiers de’
n, il vient , P(n)—2m- rh
| Hn) > p De même Pots DA +9m-2 de nn :
D'où Hn) — Fr) s PAUSE
q An)
Or g(n)—o(n’) = g(n’)(g*7{qg—1)—1jet g(n’) = HET (1) Sit+ 2, le facteur correspondant. de ce produit est = 2. Comme n a m—1 facteurs premiers, on a @{n)= 2". D'autre part si g>38, ou si g=38 «> 1on a g*(g—1) = 3, et par suite F{n) > q. Reste le cas g = 3, d’où n — .. n=6. Ona Fn) = p—-p+1, nombre qui est > 3 si p > 2; si p = 2, on trouve le cas d'exception annoncé. Si n = 4°, on a Æn) = TUE +p9°7 +1, nombre quiest > q, si g +2 et > 4, si q=2, æœ1l. Notre proposition est: donc complètement démontrée. 7
Examinons encore le cas n=2: on a p—1 = (p—1)(p+1). Un facteur premier de p—1 ne divise p+1 que s’il est égal à 2; la es sera donc encore vraie dans ce cas sauf si p est de la forme 2e 4
En ne cas, nous pouvons dire que :
Etant donnés des entiers n, p quelconques, p > 1, il existe une infirité de nombres premiers q tels que le plus pt exposant Î pour lequel pl = 1 (mod. q) soit divisible par n.
Soit k un corps de nombres algébriques fini quelconque, et soit a un idéal entier de k. n étant un entier quelconque > 1, on peut trouver une infinité de nombres premiers q tels que le plus petit exposant positif f. pour lequel Ma) = 1 (mod. q) soit divisible par n. Donc :
Etant donné un: corps ket dans.ce corps un idéal entier a, on peut trouver une infinité de nombres-premiers q tels que, H désignant le groupe de
436 C. Chevalley.
Artin associé dans k au corps k(£), où £ est une racine primitive g-ème. de l'unité, a appartienne (mod. 1) à une classe dont l’ordre est un multiple de n.
En particulier, si K’ est un sur-corps donné fini de k, on peut supposer que K’ et k(£) sont étrangers par rapport à k.
Les corps circulaires sont corps de classes.
Soit K un sur-corps relativement abélien de k. Soit À le groupe des idéaux de k premiers à un idéal m divisible par le diseriminant relatif de K, et soit Æ un sous-groupe d’indice fini jouissant, pour les idéaux premiers à m, de la propriété 1) énoncée au théorème A. Le groupe À/H est un groupe abélien fini. Si % est un caractère de ce groupe, nous désignerons par #(a) le caractère de la classe à laquelle appartient a (mod. 1) et nous appellerons séries Z associées à A les séries
sa L(,4) = 2 Na) a parcourant les idéaux entiers de k premiers à m. Ces séries sont convergentes pour s > 1, et on a la formule analogue à la formule d’Euler
dd = (A0)
où p parcourt les idéaux premiers ne divisant pas m. D'où
log Hs, = 3 SA) Og (s X) à DETTE
Nous allons former £ log L{(s, X), la somme étant étendue aux divers
caractères 7. Des formules données pour les caractères, il résulte Z (a) =0, si a n’est pas dans {7 ;
ZA) = (4 ESA si à est dans /.
Donc Ë
h bg ILs2 = à — SEE ven vN(p)
Maïs, par hypothèse, la condition p” C Æ est équivalente à la suivante : » est multiple du degré relatif f par rapport à & des facteurs premiers $ de p dans K. Soit v = pf. Ona MNp}* = MY} et le nombre g des
diviseurs premiers de p dans X est F' sin=(K:#), Donc LA À y
et
log I Is, 4) = he AN ENT Le o n(1- 1 à x n a,8 ND" La. $ NF) où ‘5 parcourt les idéaux premiers de K premiers à m. Désignons par g(s) le produit /7 does) étendu aux idéaux premiers en nombre fini divisant m, et remarquons que la fonction £,(s) du sur-corps, égale par définition à | DB N@)"” où À parcourt les idéaux entiers de K, est égale à m1 = Sie le
produit étant étandu à tous les idéaux premiers de K. Il vient
G) H Le, 2) = GX)".
Supposons maintenant que 1 soit un groupe de congruence (mod. m).’ Désignons par & les différentes classes de À (mod. 47), et posons
Fan Qu(s) — à N(a)”
On démontre* que les idéaux a se repartissent également dans toutes
Le Q(s) (8 1) sont toutes
les classes À, dans ce sens que les limites î $ —
égales à une même constante c, el que
Q (8) “a EST + AOF ges) restant bornée pour s= 1. Orona
ANT ST ET Fan Lis, D = 3 A) QE = 5 A8) + Ho 2)
[(s8, %) restant bornée pour s = 1. Si donc 7 est différent du caractère %o toujours égal à 1, Z(s, 4) reste elle-même bornée pour s=1. SiZ= %o cette fonction a un pôle d'ordre 1. Donc le premier membre de la formule (1) a un pôle d'ordre 1 pour s = 1; £,(s) ayant aussi un pôle
d'ordre 1 pour s = 1, il faut que À sie à
28) Voir Weber, Lehrbuch der Algebra, 2-me. édition, vol. IT.
438 C.'Chevalley.
Or, considérons le.cas où Æ est corps circulaire par rapport à &, engendré par adjonction d’une racine m-ème de l’unité. Le groupe de Artin H est un groupe de congruence définissable modulo mlp.., les pe étant les idéaux premiers infinis de 4. Soit m un module multiple du précédent, et soit Æ* le groupe de Takagi associé à K (mod. m). La norme à par rapport à Æ d’un idéal X de K premier à m est dans le groupe H, et H contient le rayon (mod. m).. Donc H* est contenu dans H. Si p est un idéal premier premier à m et si p” est la plus petite puissance de pb contenue dans 7, p/;est norme d’un idéal premier de K et bp” est contenu dans H*. Comme H* C H, bp’ est la plus petite puissance de pb contenue dans H*. Donc H* satisfait à la condition 1) du Théorème A. Comme c’est un groupe de congruence, son indice h est égal à (K:k). Or H* est contenu dans le groupe des idéaux de Æ premiers à m, qui est aussi d'indice (K:k). Donc:
m désignant un multiple quelconque de mIlp.…, le groupe. de Takagi associé (mod. m) au corps circulaire k(£) dans k, € étant une racine m-ème. de l’unité, est compose des idéaux du groupe de Artin qui sont premiers à m. Autrement dit: k(£) est corps de classes pour ce groupe.
Sur la théorie du corps de classes. 439 Chapitre VIII.
Démonstration du théorème B.
Le groupe de Takagi associé à un sur-Corps relativement cyclique”. |
Soient Æ un corps fini de nombres algébriques, K un sur-corps relativement cyclique de k de degré relatif n, dont le groupe de Galois est engendré par une opération 6. On désignera par m un module quelconque de # et par: j
À le groupe des idéaux premiers à m de k,
À le groupe des idéaux premiers à m de K,
H, le groupe des idéaux principaux de K premiers à m,
FH le groupe des classes d’idéaux (mod. m) de k qui contiennent des normes relatives d’idéaux principaux de K: on posera (A: H;) = ln,
H le groupe de Takagi associé à K dans k,
I le groupe des idéaux de Æ premiers à m dont la norme:relative
par Die à k appartient à Æ ; ce groupe s’appelle le genre VE si ie K,
H;' le groupe des idéaux de K premiers à m et équiv ae à un idéal de la forme A1-°, À premier à m, |
Sy le rayon de k (mod. m).
Nous allons maintenant calculer le nombre (4 : H;) = h.
Considérons le groupe À comme homomor phe au groupe H/Su. la
correspondance étant définie en associant à tout idéal Y% de À la classe (mod. m) qui contient Nr, (A). En vertu du principe d° isomorphie, où à
1 (4:H) a + AH RSS Or H contient évidemment H/. Donc (4: 4) = 4:45).
