EH : H

Désignons par C les classes (mod. 1) de Æ (c’est-à-dire les classes ordinaires d’idéaux). Remarquant que chacune de ces classes contient des idéaux premiers à m, on a

(4: A) = (0: Be

29) Ce calcul est la généralisation directe au cas “ cyclique de degré quelconque ? du calcul correspondant de la théorie de Takagi.

440 C. Chevalley.

où C° désigne la classe qui contient les puissances 1—a des idéaux de la classe C. Or la formule C + C'-° définit un homomorphisme du groupe © sur le groupe C!-° et, dans cet homomorphisme, les classes qui donnent l'élément unité du groupe C*-° sont les classes ambiges. Donc (C': C7) est égal au nombre a des classes ambiges.

Reste à calculer h. Pour cela désignons par » les nombres de k qui sont congrus (mod. m) à la norme relative d’un nombre ÆX premier à

m, par « les nombres de k premiers à m. Ona

(A: Hi) = (A: (œ)) ((æ) : ()) = ho(æ) : ()), k étant le nombre des classes de #. On a, en désignant par € les unités de &, qui sont des nombres «,

((æ): (v)) = (æ : ve dre (æ:») :

K( ): (v)) ( ) (2e: ») (:[,el)

Soit m — /p;", les p; étant des idéaux premiers finis où infinis, avec À

a; = 1 si bp; est infini. Désignons pour chaque à par »; les nombres congrus (mod. p;*) à la norme relative d’un nombre de K premier à p, cette dernière condition tombant si bp; est infini, par «; les nombres de k premiers à p Je dis que («:») est le produit des (&;:»,). Soit & une classe du groupe æ (mod. »). Les nombres de & sont tous dans la même classe À, (mod. »;). Associons à À l'élément R.. R..... À, du produit direct des æ;/». Au produit de deux classes est évidemment associé le produit des éléments correspondants du produit direct. A deux classes 8 différentes sont associés des éléments différents du produit direct. En effet, il suffit de montrer que si un nombre «, done premier à m, appartient à tous les groupes », il appartient au groupe ». Par hypothèse, a = Nu(d) (mod. pi}: (4, h) = 1.

Or on peut trouver un nombre 4; tel que Aj = A;(mod.p;*), 4 = 1(mod. pp," pour j + 1.

On a à = Nxx(A1' As... 4.) (mod. m) et le nombre 4,4... 4,’ est premier à m. Enfin tout élément @R:...R, du produit direct est ainsi obtenu. En effet choisissons dans chaque classe R; un nombre &;: on peut trouver un nombre « tel que

a = @ (mod. pi").

La classe À de « donne précisément R.R...R,.

Donc (œ:>) = [1 (CAN)

Tout revient donc à calculer les (æ:»;). Supposons d’abord hp, fini. Soient $; un facteur premier de p, dans K, kr, et K3>, respectivement les corps des nombres p-adiques et R,-adiques de k, K. Choisissons pour chaque à le plus petit exposant b, tel que tout nombre = 1 (mod. pibi) soit norme De par rapport à Xp, d’un nombre de y, (voir p. 423). Par définition, p* est appelé bp. -conducteur de K par rapport à k, et désigné par fn. Nous supposerons que m est divisib'e par les p,-conducteurs de tous les idéaux premiers finis de # ramifiés dans X.

Dans ces conditions, la condition nécessaire et suffisante pour que æ; Soit un nombre »; est que «;, soit norme par rapport à kp ; d’un nombre de Ky, (voir p. 420) qui sera nécessairement premier à $,, puisque a, est premier à p; On en conclut (voir p. 423)

(æ : 1) = Cm)

où ep, désigne l’exposant de R, par rapport à k.

Si p, est infini, nous dirons que le p;-conducteur de Æ est hp, si p, est ramifié dans Æ, 1 dans le cas contraire. Nous supposerons encore m divisible par les p;-conducteurs de tous les idéaux premiers à l'infini ramifiés. Ces idéaux sont en nombre p, (en reprenant les notations du théorème des unités), et pour chacun d’eux (a; : »,) = 2. En effet, soit k®% le conjugué réel de Æ correspondant à p;, K le conjagué correspondant de K, qui est imaginaire. La norme relative de tout nombre de K® par rapport à k® est un nombre positif. Au contraire, si bp; est non-ramifié, c’est-à-dire si K% est réel, il y a des nombres négatifs de k® qui sont normes relatives de nombres de K® (en effet, il résulte du lemme de la page 389 qu'il y a un nombre de X® positif dont tous les conjugués par rapport à Æ® distincts de lui-même sont négatifs), et (&:) = 1. Donc

(æœ:v) = 221lep.

Ceci posé, on.a

= M holler 22( FH : H:°) (4: H) ae:[,€])

et en remplaçant a par sa valeur (p. 406) h=n([t:1]: Nax(0) (&: H),

d’où résulte en particulier h = n.

De cette inégalité résulte le fait suivant que nous avons dèja employé :

442 C. Chevalley.

Si n=(K:%) est la puissance !* d’un nombre premier /, il y a un idéal premier de k premier: à un idéal donné quelconque m qui reste premier dans K. |

: : En effet, supposons qu’il n’en soit pas ainsi. Soit d le discriminant relatif de X. Tout idéal premier hp premier à mb aurait un corps de décomposition, + k. Mais tout corps compris entre Æ et k et +k contient le sous-corps K, de de degré L'par rapport à k.. Donc presque tous les idéaux premiers de 4 se décomposeraient totalement dans K. Il en résulterait que tout idéal de £ premier à mb serait norme d’un idéal de K;, et que, par suite, pour tout module n multiple de mb, le groupe de Takagi associé dans k à K, serait d'indice 1, ce qui est en contradiction avec l’inégalité qu’on vient d’obtenir.

Démonstration du théorème B. Cas cyclique.

Soient k un corps fini de nombres algébriques, et soit X un sur: corps relativement cyclique de degré n de k. Soient « une opération engendrant le groupe de Galois de Æ par rapport à k, À le groupe des idéaux de £ premiers au diseriminant ralatif bd de K, H le groupe de Artin associé à X dans k, m un module quelconque dans k#.

Choïsissons un sur-corps K” relativement circulaire par rapport à k, engendré par adjonction d’une racine g-ème. de l’unité, q étant premier, et étranger à X, dont le degré relatif soit multiple de ». Soit o’ une opération engendrant le groupe relatif de X’ par rapport à #. Le groupe relatif de XKK’ est le produit direct des groupes de K, K’.: Soit K; le sous-corps de KX7 appartenant au groupe (50’). Choisissons un idéal Y de K, premier à mb(q) tel que

(Crnee = = 00 \

ce qui est possible en vertu du Théorème A. Soit a — Nr QD. Ona (voir p. 427)

Soit alors p* un idéal primaire (c’est-à-dire puissance d’un idéal premier) de k, premier à md. On peut, nous l'avons vu (voir p. 435), trouver un corps circulaire X7° par rapport à k, engendré par une racine de l’unité d'ordre premier et premier à p, étranger à XX’, tel que, H’' désignant le groupe de:Artin associé à K°° dans Æ, p® appartienne (mod. Æ”) à une classe dont l’ordre est un multiple de n. Soit 8’ cette classe, et soit

GE (De

Le groupe de Galois de KK’K” est produit direct des groupes de Galois de K, K’, K”’. Soit K le sous-corps de KK’K”' appartenant au groupe (6°). Choisissons un idéal B, de K premier à md(q) tel que