RUE

Dans KK°K”, le corps K, appartient au groupe (50, o”). Il est done contenu dans K. Soit 5 — Nr r NB) b= Nr (8). Ona

CE) a 'œ tr () CE] Éope) 40 00}; = 067.

Da) De]

Donc ( sn) = 1. Mais XX’ est corps circulaire par rapport à Æz.

En effet K;K’ appartient dans KK’ au groupe commun aux groupes (co’) et (a). a’ étant d’ordre multiple de n et « d'ordre n, ce groupe se réduit à l’unité, et on a K,K’ = KK'. L'idéal B-%, qui appartient au groupe de Artin associé à XK” dans K, et qui est premier à mappartient donc aussi au groupe de Takagi associé à KK” dans K, (mod. m(g)), et à fortiori (mod. m), et on a

BV = (B)Nrk rx (EC), B = 1 (mod. m), € étant un idéal de KK” premier à m. D’où on déduit | b-'a® = (B)Nxs HO) = (Bat), | B= 1 (mod. nm),

c étant un idéal de K premier à m.

5 Soit°XZ' le sous-corps de XX” appartenant au groupe (9%). On à (= “) = 50”. Je dis que p° est norme relative d’un idéal de K,’.

p° ; 1 à En effet, soit

et soit © l’ordre de 7. Le corps K,* contenu dans KK7° et appartenant au groupe (r) est le corps de décomposition de p dans KK7. bp est norme par rapport à & d’un idéal premier $ de ce corps. D'autre part K,! est sur-corps de K,* de degré relatif (a, g).. Donc $%% est norme

444 C. Chevalley

par rapport à ÆK,* d’un idéal premier ® de K,. On a p= Ne). Soit Q = Pa. On a

(< )= mt = OO .

D'autre part K, contient K,. Soit 5 = N a r' Bi) On a

(=) rer = 0"a P°

Lee =