DO
Mais KK”’ est relativement circulaire par rapport à K,’, car KK” — K,;'K”. Donc, en raisonnant comme plus haut,
et
BOT = (BINrrr r AC) B'=1(mod. m), (CE, m)=1 et prenant la norme par rapport à k, bp = (BINr(e), BR = 1 (mod. m) (eé, m) = 1.
Il résulte des deux égalités trouvées que ap = (8")Nm(E”) 8° = 1 (mod. m)
C’’ étant un idéal de K premier à m.
On a p® = a” (mod. A); la formule précédente montre que l’on a aussi p® = a° (mod. A*), où H* est le groupe de Takagi associé (mod. m) à K dans &.
Soit maintenant n un idéal quelconque de k premier à mb et soit n = /1p* la décomposition de n en facteurs premiers. Chacun des p* peut être remplacé par un idéal a° sans changer la classe à laquelle appartient n modulo [Æ, H*]. Donc il existe une puissance a* de a
telle que n soit congru à a* modulo [H, H*]. Or supposons n contenu
dans Z. Comme à, en vertu de la formule ( K
cf (mod. 1) à une classe d’ordre », X est nécessairement multiple de n ;
dans ces conditions, a* est norme relative d’un idéal de X, et a* appartient aussi à Æ*. Donc:
IT* étant le groupe de Takagi associé (mod. m) à K, H* contient les idéaux de Æ7 premiers à m.
Or prenons pour m le produit ny des p-conducteurs de tous les idéaux premiers, finis ou infinis, de k ramifiés dans A. Dans ces
) = 6, appartient
conditions tout idéal de 7 est premier à mt et on a vu (p. 441) que l'indice (4: H) est multiple de ». Mais Æ* contient H, donc (4: H*) divise (4: H)=n: Donc H* = H.
Si maintenant m est un multiple quelconque de m, le groupe de Takagi H,* associé (mod, m) à Æ contient le groupe des idéaux de Æ premiers à m, H,. Ce dernier étant encore d'indice » le raisonnement se fait comme dans le cas précédent et on a H, = Hy*.
Le théorème B est donc démontré pour les extensions cycliques.
Démonstration du théorème B. Cas général.
Le théorème B étant démontré pour les extensions cycliques, supposons le démontré pour toutes les extensions abéliennes composées de r corps cycliques au plus.
k étant un corps fini de nombres algébriques, un sur-corps relativement abélien composé de » + 1 corps relativement cycliques se met sous la forme KK;, K étant composé de r corps relativement cycliques, et K étant relativement cyclique. Soient FH, H, les groupes de Artin associés à K, K, dans k; il y a des modules m,, nm, tels que H, H soient respectivement les groupes de Takagi associés à K, K; (mod. nn) et (mod. mn). Soit nm le p.p.c.m. de m et de ‘1. m n’est composé que d’idéaux ramifiés
dans KK;. Soit H; le groupe de Takagi associé (mod. m) à XK, dans k.
Le groupe A3 est évidemment contenu dans AH, H;, donc leur partie commune |, H] qui est le groupe de Artin associé à KK..
D'autre part soit À’ le groupe des ideaux de X; premiers à m dont
la norme par rapport à & tombe dans A, et soient 43, 4x’ les groupes des idéaux de 4, K premiers à m. En vertu du principe d’isomorphie” on a, en désignant par H* le groupe des idéaux de Æ premiers à m, qui est le groupe de Takagi associé à K; (mod. m) dans £,
pe H')= (Hit: H;).
Or IT’ contient le groupe de Takagi associé à KK, dans K; (mod. m), donc aussi le groupe de Takagi associé à XK, dans K; (mod. n), n étant un multiple de m. Or ce groupe de Takagi, en choisissant convenablement n, sera identique au groupe des idéaux premiers à n du groupe de Artin associé à KXK, dans K. En effet, par hypothèse, le théorème B
30) La correspondance # + Nx;x(%) donne une homomorphie de À sur Hi, donc aussi sur Æ/H.
446 C. Chevalley.
est déja démontré pour l'extension KK;/K. Il en résulte que (A : À) <(KK, : KR) et puisque (43: H*) = (K:Ek),
CAT) KR CE), Or, H3; étant contenu dans [H, H] (45 HD A, AA HI = ER)
D'où [A, H] = Hz. Si maintenant m est un multiple quelconque de m, le groupe de Takagi associé (mod. m) à KA, dans k, soit HE, sera
contenu dans A3, done dans le groupe H, des idéaux de H3% premiers à m. D'autre part exactement comme tout-à-l'heure pour m, on
démontre (Au: Hn*) < (KK : k). Comme (An: An) = (KK, : k), il vient Hn = H*, ce qui achève de démontrer le théorème B.
Le genre principal. Le théorème de Hasse.
| Soit Æ un corps fini de nombres algébriques et soit K un sur-corps relativement cyclique de degré relatif n. Soit m, un module tel que le groupe de Takagi associé à Æ dans Æ (mod. m,) soit d'indice n dans le groupe des idéaux de X premiers à nn. Revenons à la formule de la p.441. On a h = n, et on en déduit
1) (Le, r] : Nx:(0)) = 1, ce qui signifie que toute unité de k qui est reste normique de Æ (mod. nt) est norme d’un nombre de K,
2) H = , c'est-à-dire :
Le genre principal de K se compose des classes absolues de la forme C'-.
Ce qui revient à dire ceci: si un idéal X de K premier à m, est tel que Nxx (9) soit congru (mod. nm) à la norme par rapport à # d’un idéal principal, cet idéal % est de la forme (4)9!-°, À étant un nombre de K, $ un idéal de K.
Ceci posé, soit un nombre « de k qui est reste normique de K modulo tout module de %. Soit p un facteur premier de (æ), et soit un facteur premier de p dans X de degré relatif f. En écrivant @ = Nxx(A) (mod. p), on voit que (æ) et (Nxx(4)) doivent être divisible par la même puissance de p, donc que bp figure dans (æœ) avec un exposant multiple de f. Donc (œ) = Hp = IINxx (Bi) et (æ&) est la norme d’un idéal X de X.° Dans la classe de Y nous pouvons choisir un idéal Ÿ”’ premier à nt. On a A’ = (4')Y, et
Na(U) = en
; Na (4) est reste normique (mod. mt), donc Ÿ’ appartient au genre principal, et par suite V = (4”)1-7, d'où
(@) = (Nx: (44), @ = eNyx(A'A").
Or € est encore reste normique (mod. m), done norme d’un nombre de K. D'où le
Théorème de Hasse””. Un nombre de k qui, pour tout module m, est reste normique (mod. m) d’un sur-corps K relativement cyclique est norme relative d’un nombre de K.
Ce théorème n’est pas vrai pour les corps Æ non cycliques.
Applications.
Lemme. Soit & un corps fini de nombres algébriques. Si K est corps de classes sur k pour un groupe H (inod. m), H° est le groupe de Takagi associé (mod. m) à K dans k.
Soit J le groupe de Ariin associé à K dans k. Le groupe H' étant égal à F1, il résulte du théorème B qu’il y a un module n multiple de m tel que tout idéal premier à n de A” soit congru (mod. n) à la norme relative d’un idéal premier à n de X. Soit a un idéal de H’: il y a un idéal a’ = a (mod: m) qui est premier à n; on à a’ = My, (A) (mod. n), donc a = Nxx (A) (mod. m) et a appartient au groupe de Takagi associé (mod. m)à K. Réciproquement, soit a un idéal de ce groupe de Takagi, donc a = Nxx(X) (mod. m), où À est premier à m. Il existe un idéal Y premier à n et qui est congru (mod. m) à X Donc a = Mxx(Y”) (mod. m). Le second membre est dans 77 et premier à n, donc dans H”. IH étant définissable (mod. m), a est aussi dans A7.
Ceci posé, nous pouvons démontrer un théorème qui nous servira à simplifier la démonstration du théorème d’existence” :
Si K est corps de classes sur k pour le groupe H, et si H” est un groupe contenant H, K contient un corps de classes K° pour H”.
En effet on peut supposer que les groupes Æ, H” sont des groupes de congruence (mod. m), m étant un module qui est divisible par tous
31) Voir Hasse, Beweis eines Satzes und Widerlegung einer Vermutung über das Ygemeine Normenrestsymbol, Gôtt. Nachr., 1931. Le théorème y est démontré par induction à partir du cas n premier.
32) Ces théorèmes peuvent être démontrés à priori, en donnant du corps de classes la définition de Takagi, d’une manière analytique. C’est la voie qui fut suivie par M. Artin dans son cours au semestre d'hiver à Hambourg
448 C. Chevalley.
les idéaux premiers de k ramifiés dans X. Quand a parcourt les idéaux
de H, (£) parcourt les opérations d’un sous-groupe g du groupe de a Galois de Æ par rapport à &. Soit K’ le corps appartenant à g. Donc,
/ si a est dans }”, (£ ) = 1, et réciproquement, si a est premier à m et
si (+) = 1, aest dans AJ’. Donc H’ est égal au groupe de Artin a
associé à K” dans k. De même:
Si K est corps de classes sur k pour le groupe H, et si K est un sur-corps fini de k, KE est corps de classes sur & pour le groupe I des idéaux de k dont la norme par rapport à k est dans H.
Supposons 7 groupe de congruence (mod. m). Alors ZT est aussi égal à un groupe de congrueuce (mod. m). On peut supposer que m
contient tous les idéaux de Æ ramifiés dans A%. Alors À est égal au groupe des idéaux premiers à m du groupe de Artin associé à Ak dans k, ce qui démontre notre proposition.
Il en résulte immédiatement le théorème d’unicité : à y a un corps de classes au plus pour un groupe donné, à une égalité près.
En effet, s’il y en avait deux, soient K, &, en vertu de la proposition précédente, Kk serait corps de classes sur Æ pour un groupe qui contiendrait tous les idéaux de # premiers à un certain module; ce groupe serait d'indice 1, et on aurait (Kk:#) = 1, KCk. On démon-
trerait de même que k C K, ce qui conduit à une contradiction.
Démonstration du théorème de Kronecker.
Le théorème B permet de démontrer facilement le théorème de Kronecker qui s’énonce ainsi :
Un corps absolument abélien est contenu dans un corps circulaire.
En effet, un corps X absolument abélien est corps de classes sur le corps À des rationnels pour un groupe de congruence, donc définissable (mod. mp), m étant un entier positif et p l'idéal premier à l’infini de R. Ce groupe contient donc le groupe 4 des nombres = 1 (mod. mp), qui est le groupe pour lequel le corps A7 des racines m-ièmes de l'unité est corps de classes. Donc K'est contenu dans A”.
