Chapitre IX

La théorie du corps de classes local.

Désignons par & un corps local, par p l'idéal premier de k, par À le groupe des nombres + 0 de k#.

Rappelons qu'à tout sur-corps Æ de k nous avons associé le groupe IT des nombres de £ qui sont normes par rapport à k de nombres de K.

Nous dirons que K'est corps de classes par rapport à 4 pour le groupe H quand l'indice (4: 1) de H est égal à (K°:k).

Nous avons montré que tout corps Æ relativement cyclique par rapport à Æ est corps de classes. Nous allons encore montrer que tout corps relativement abélien est corps de classes.

Un théorème général sur les normes.

Nous aurons besoin du théorème général suivant :

Soient k un corps parfait, K et K° deux sur-corps relativement cycliques de k de mème degré, dont les groupes sont engendrés par des opérations a, a”. Soit K°” un sous-corps de KK”, cyclique par rapport à k et tel que [K””, K] = k et [K°”,K']=%k. Un nombre « qui est norme par rapport à k d’un nombre de K et d’un nombre de K° est aussi norme par rapport à k d’un nombre de K”.

En effet, le groupe de Galois de XK” par rapport à k est le produit direct des groupes de Galoïs de KX, K”. Les opérations 9, a’ peuvent être choisies de manière à ce que l’opération 5’ laisse les nombres de K7 invariants (en effet, si K’” appartient au groupe (0°), les conditions [K”, K]=[K”,K']= k entraînent que æ et 8 sont premiers à n, et donc que 0°, °° sont des opérations engendrant les groupes de K, K”). Il suffit alors de démontrer le théorème dans le cas où K” est précisénent le corps appartenant au groupe (ca). Soit (K:k) = (K”':k) = n. On a par hypothèse

DE Piaf as ou Tes A al 08 A,

L'étant un nombre de K, done tel que a’1= F7, et 4 un nombre de K, donc tel que o4 = 4. On a donc

180 ANUS A TEA 0) ol RS

Donc NKxK, r'([ 4") = 1, et en vertu du théorème de Hilbert il existe

Las

un nombre & de XK” tel que

450 C. Chevalley.

Posons 6 = l'E°-? et formons 0’"'o "6. Remarquons que Z1-7 — 1- 1-o/ + &77°+0-%, de sorte que

Ë = EoG=0 1.

D'où o7Ë = Œ1-0 1 = Z1-00/+9/(0-1) 4 [EvC-0 et gg Ë = [ET = Ë, Donc £ est dans K”, et on a

Neal or a = lol lee ce qui démontre le théorème.

Les sur-corps non ramifiés.

Tout sur-corps relativement galoisien d'un corps local k qui n'est pas ramifié est cyclique. Soit en effet K un tel sur-Corps, et soit $ l'idéal premier de K. Le groupe de décomposition de $ est (comme toujours, quand il s’agit de corps locaux) égal au groupe de Galois de K par rapport à %. Le groupe d’inertie se réduit à l’unité puisque K n’est pas ramifié. Le groupe quotient du groupe de décomposition par le groupe d'inertie étant cyclique, la proposition est démontrée.

Il résulte de là que pour chaque degré n il y a au plus un sur-corps galoisien de degré relatif n non-ramifié: car s’il y en avait deux, leur corps composé ne serait pas non plus ramifié, et ne serait pas cyclique.”

Montrons maintenant que pour chaque degré n, il existe un surcorps de degré relatif n non-ramifié. Soit p le nombre premier rationnel contenu dans bp, et soit f le degré de l'idéal p. Soit Y une racine primitive (p”* — 1)-ième de l’unité. Remarquons qu'un nombre y — 1, s’il est différent de 0, est premier à p car le produit de ces nombres est p"" — 1 qui est premier à p. Considérons le corps #(x) et soit $ l'idéal premier de ce corps. Deux nombres dé la forme 4°, X ne sont congrus (mod. $) que s’ils sont égaux, car XL =X(1— 7%"). D'ailleurs, ces nombres ÿ* forment un groupe multiplicatif d'ordre p" — 1, ce qui n'est possible que si le degré F de $ est multiple de fn. Le corps d'inertie de %$ dans k(X) est un sur-corps relativement

33) Si X, K’ sont deux sur-corps relativement galoisiens de #, le groupe relatif de Galois de XX’ est sous-groupe du produit direct des groupes de Galois de K, K'. Un élément 00’ n'appartient au groupe d'inertie de p dans XX’ que si & appartient au groupe d'inertie de p dans XÆ et 6’ au groupe d'inertie de p dans K’ Si ces deux groupes se réduisent à 1, il en est de même du groupe d'inertie de p dans KK”.

Sur la théorie du corps de classes. 451 g: . F . :

cyclique de # de degré relatif Fa Il contient donc un sur-corps re-

lativement cyclique non ramifié de # de degré relatif n. (On montre d’ailleurs que ce corps est k(7) lui-même.) On remarquera que tout surcorps relativement galoisien de # de degré relatif n étranger au corps que l’on vient de construire est complètement ramifié, et réciproque-

ment tout sur-corps complètement ramifié est étranger au corps que l’on vient de construire.

Corps galoisiens.

Soit K un corps relativement galoisien par rapport à un corps local k. On démontre au moyen de la théorie de Galois relative à un idéal premier que K'est toujours métacyclique par rapport à 4. Soit H le groupe associé dans X à &. Nous voulons démontrer l'inégalité

Nous opérerons par récurrence sur (K:k). Si ce degré est premier, K est relativement cyclique, et l'inégalité (qui est une égalité, puisque K est alors corps de classes sur k) (voir p. 423) est vraie. Supposons la donc démontrée pour toutes les valeurs du degré relatif plus petites que n, et soit K un sur-corps de degré relatif n. Sin n'est pas premier, K, étant métacyclique, possède au moins un sous-corps À contenant #, différent de % et de XK, et relativement métacyclique par rapport à K. Soient Æ le groupe associé à Æ dans k, À le groupe des nombres + 0 de K, H le groupe associé à K dans K, H* le groupe des nombres de K dont la norme par rapport à k tombe dans Æ. Ona