GAD'= AH) (ED

L’homomorphisme æ> Næ(@) appliqué au groupe À donne (principe d’isomorphie)

Cite (He IA

34) D'une manière générale soient Æ un corps local, £ un sur-corps de degré fini de k, À, A les groupes des nombres + 0 de #, k; H un sous-groupe de À d'indice fini, h le groupe associé à Æ dans &, H Je groupe des nombres de £ dont la norme par rapport à k est dans H. @ étant un nombre de #, la correspondance &æ æ Nix(&) donne une homomorphie de À sur h, donc aussi sur A/[h, H]. Le groupe des éléments de À dont le

correspondant est dans [h, H] est ÀT et on a, en vertu de principe d’isomorphie, AJH=h/[h, H], (A:(4, H]) = (A:h) (4:À).

Ce raisonnement sera plusieurs fois utilisé dans la suite.

452 C. Chevalley.

Or il est évident que H* contient À Donc, (4: H*)<(4: H). Orle théorème est démontré par hypothèse pour l'extension X/K et pour K/k. Donc (4: H)<(K:b), (4: H)<(K:K).

D'où la démonstration de la formule annoncée”.

De plus, si (K:k) = (4: H), on a nécessairement

On en déduit en particulier :

Si K est galoisien et corps de classes par rapport à k et si K est un souscorps de K° galoisien par rapport à k, K est corps de classes sur K pour le

groupe des nombres de K° dont la norme par rapport à k tombe dans le groupe H associé à K dans k.

Cela va nous permettre de généraliser le théorème de la page 449. Soient KX, K’ deux sur-corps relativement cycliques de degré n de k, et soit X7/ un sur-corps relativement cyclique de degré » de k contenu dans KK”. Soit [K, K’] = K. Soient H, H’ les groupes associés dans # à K, K7. Soient H,, H; respectivement les groupes de nombres de X; dont les normes par rapport à k tombent dans Æ, H'. Alors les groupes associés à K, K° dans K, sont H, H/. Siaæ appartient à [ 4, H°], il est norme par rapport à £ d’un nombre À de A; qui est dans [Æ, H;].

On est donc ramené au cas où [K, K7] = k. Décomposons n en facteurs premiers: soit n — II pi. Le corps Kest composé de corps KX relativement cycliques par rapport à £, K; étant de degré relatif p". De même pour X7 et pour K/”. Le corps K;' est un sous-corps de K,K7/. Un nombre « qui est norme d’un nombre de Ket d’un nombre de ET est norme d’un nombre de X; et d’un nombre de X7/. On ne peut avoir en même temps CK;”", K] + k et [K;"', K/] + k, car sinon ces deux corps contiendraient l’unique sous-corps de degré relatif p, de X7/, ce qui est impossible en vertu de [XK,, K] = k. a, et so; étant des opérations engendrant les groupes de A, K; par rapport à k, le corps X///' appartenant au groupe (s:9/) est étranger à X; et à K7 par rapport à k. Si LKR, K°1 = [Ky, K/!] = k, & est norme relative d’un nombre de X//en vertu du théorème de la p. 449. Si par exemple [X, K;!] + k, on voit en raisonant comme plus haut que [K;/, K/”] =%k. En vertu du théorème de la p. 449, æ est norme relative d’un nombre de Ko... En

30) Il en résulte que si on peut démontrer que ZT est contenu dans unso us-groupe de À d'indice Z (K:k), K sera corps de classes.

appliquant le même théorème à X/” et à XK,, on voit que æ est norme relative d’un nombre de K/’. Il appartient donc au groupe AH}! associé à K}! dans &. Or le groupe associé à K// est contenu dans tous les groupes H}, donc dans leur partie commune. De (4: H/') = p{ on déduit que cette partie commune est d'indice n dans À. Le groupe associé à X/’ étant aussi d'indice n est identique à cette partie commune, et contient par suite &. Donc:

k étant un corps local, K, K' deux sur-corps relativement cycliques de même degré relatif de k, un nombre « de k qui est norme par rapport à k d'un nombre de K et d’un nombre de K7 est aussi norme par rapport à k d'un nombre d’un sous-corps K/' de KK7 cyclique par rapport à k.

Le théorème d’unicité pour les corps cycliques.

Soit £ un corps local, et soit À un sur-corps relativement cyclique de degré n de #, complètement ramifié. Soit A7 le sur-corps non ramifié de % de degré n. On a donc [K, K’/] = k. Le groupe de Galois de XK/ par rapport à X est le produit direct des groupes de Galois de K, K7. Prenons des opérations o, a’ de ce groupe où & laisse invariants les éléments de X7 et produit un automorphisme primitif de K, et de même pour 9” en intervertissant K, K7. Soit A7’ le sous-corps de XX7 appartenant au groupe (os/). K7! est étranger à X” et par suite complètement ramifié (voir p.450). Prenons un nombre {7 de K/! d'ordre 1 pour l'idéal premier de ce corps et posons : æ = Nx{ 11) ; & est d’ordre 1 pour l’idéal premier p de #. Supposons que &@” soit norme par rapport à & d’un nombre de K. Il est aussi égal à N,,.(/1"). Donc, d’après le théorème ci-dessus, il est norme d’un nombre de Æ7. K7 étant non ramifié de degré relatif n, cela n’est possible que si » = 0 (mod. n). Donc la plus petite puissance de & contenue dans le groupe associé à À dans Æ est æ". Ce groupe étant d'indice # dans 4, 4/I est cyclique. Donc:

Lemme. X étant un corps local, À le groupe des nombres différents de 0 de k, K'un sur-corps relativement cyclique complètement ramifié de k, H le groupe associé à K dans k, A/H est cyclique.

On peut maintenant démontrer le

Théorème d’unicité: k étant un corps local, K° et K7 deux sur-corps relativement cycliques de k distincts, les groupes I, H' qui leur sont associés dans k sont distincts.

En effet soit Æ* = [K, K’], et supposons H= H', Chacun des corps K, K’ est corps de classes sur Æ* pour le groupe des nombres de k*

454 C. Chevalley.

dont les normes par rapport à Æ tombent dans Æ. On se ramène donc tout de suite au cas où [K, K'] = k (en remplaçant k* par k).

Soit f le plus petit exposant différent de 0 tel que 7 contienne un nombre d'ordre f en p, p désignant l'idéal premier de k: Il résulte de l'étude faite du corps relativement cyclique que dans chacun des corps K, K' l'idéal premier a le degré relatif f par rapport à 4. Mais cela exige f = 1, car sinon, Ket K”’ contiendraient le sur-corps non ramifié cyclique de % de degré relatif f. Donc chacun des corps K et K” est complètement ramifié, et par suite 4/H est cyclique. De plus, il y a un nombre & d'ordre 1 pour p qui est dans H, donc norme par rapport à k d’un nombre de K et d’un nombre de K/. Donc XK7 ne contient aucun sur-corps non ramifié de k différent de k, car & devrait être norme d’un nombre d’un tel sur-corps.

Soit alors (K:k) = (K':k) = n et considérons le sur-corps K°7” non ramifié de 4 de degré relatif n. Le groupe de Galois de XK”K7' par rapport à k est produit direct des groupes de Galois de K, K”, K7/’ par rapport à k Nous y choisirons trois opérations 6, 9’, 6//, « laissant invariants les nombres de K/K”! et produisant un automorphisme primitif de K, et de même pour s’ et s// en permutant circulairement les trois corps K, K7, K/'. Considérons le sous-corps K, de KK7K7/ appartenant au groupe (00). Le corps [K;, K°’] appartient au groupe (00/, 6, a’) et par suite est égal à &. Donc K; est complètement ramifié. Choisissons un nombre {1 d'ordre 1 pour l’idéal premier de K;, et soit & — Nk,K11). Exactement comme dans le raisonnement de la page 453, on voit que la plus petite puissance de æ qui soit norme par rapport à k d’un nombre de Æ est æ" (car æ est norme relative d’un nombre de [X,, KK7//]). D'autre part K, contient K’, donc æ est norme par rapport à k d’un nombre de X”, et & est dans A”; d’où la contradiction.

Condition pour qu’un sur-corps soit abélien.

Nous nous proposons de démontrer le théorème suivant, k étant un corp; local :

Théorème. Soit + un automorphisme de k, et soit k* le corps des nombres de k invariants par +. Soit K° un sur-corps relativement abélien de k, corps de classes pour un groupe H contenant les nombres &'7", « parcourant les nombres + 0 de k. Alors K' est relativement abélien et corps de clasees par rapport à k*,

En effet, soit f le degré par rapport à Æ* de l'idéal premier de Æ.

Soit & le sur-corps non ramifié de degré Î de k*. Considérons K comme un sur-corps du corps kk = k.

Remarquons qu'il suffit évidemment de démontrer que K est relativement abélien quand X est cyclique par rapport à k, car tout corps abélien est composé de corps cycliques. Nous supposons donc X cyclique par rapport à &. T'K désignant un conjugué de X par rapport à L*, T°K sera corps de classes sur 4 pour le groupe r'/ÆJ déduit de AH par l'application de l’automorphisme de k&. Or rt} = H, donc, en vertu du théorème d’unicité, r'K = K:K est galoisien par rapport à Æ*, et même métacyclique. Soit H* le groupe associé à X dans k*, et soit A* le groupe des nombres + 0 de k*. Soit & un nombre de k tel que re soit dans Æ*. Donc Nyx(x) — N,,*( A), À étant un nombre de K.

onc

Gi Nr A)B,

Où Ny*(8) = 1, d’où 8 = ;'7"; donc B est dans J1, et par suite aussi «. Donc /T est le groupe des nombres de # dont la norme par rapport à k* est dans Æ7*. Donc (principe d’isomorphie), À étant le groupe associé à k dans &* (qui contient H*), on a