COTE) CRE) ET

Si G ne contient qu’un nombre fini d'éléments et s’il existe un élément 4, tel que tout élément de G soit de la forme 44, on dit que G est cyclique. (4$ se définit pour les entiers x positifs, négatifs, ou nuls par les formules

dede Me A AT LAS — AA)

Si & est un groupe quelconque ne contenant qu’un nombre fini d'éléments, À étant un de ses éléments, le groupe (4) est un groupe cyclique. Son ordre est appelé ordre de À dans G.

Homomorphie. Isomorphie.

Soient G&, G’ deux groupes. Supposons qu’il existe une loi associant à tout élément À de G un élément univoquement défini 4’ de G” (nous écrirons A 4!) jouissant de la propriété suivante: si aux éléments 4, B de G sont associés les éléments 4/, B', à l'élément AB est associé l’élément 4/B'; nous dirons que la loi définit une représentation de G dans G’; l’ensemble des éléments de G’ quise trouvent correspondre à des éléments de G& forme un sous-groupe de G/ qui est appelé image de G dans la représentation. Si ce sous-groupe est égal à G lui-même, la représentation est appelée homomorphie; on dit que G est homomorphe à G” et on écrit G— G/. Si enfin à deux éléments distincts de G sont associés des éléments distincts de G’, on dit que G est isomorphe à G' et on écrit G— G/°°

Si Æ est un sous-groupe invariant de G, le groupe G est toujours homomorphe à G/H, la loi de correspondance étant la loi qui associe à tout élément de G la classe (mod. 7) à laquelle il appartient.

Lemme 1 (Principe de réduction de Hasse). Soient G, H deux

3) Ces mots d’'homomorphisme et d’isomorphisme sont plus commodes que les mots “ isomorphisme meriédrique ” et “ isomorphisme holoédrique ” souvent employés.

4) Un homomorphisme d’un groupe sur lui-même est encore appelé automorphisme.

374 C. Chevalley.

groupes aléliens (sous-groupes d'un mème groupe quelconque). Les groupes GH/H & G/[G, H] sont isomorphes.®

Soit & un élément quelconque de G/[G, H]. C’est le système des éléments de G ne difiérant de l’un d’eux À que par multiplication par un élément X de [G, H]. Tous les éléments AX appartiennent à GH et ne diffèrent de A que par multiplication par un élément X de H. Ils appartiennent donc à une classe $ de GH/H. Nous dirons que $’ est la classe associée à R. SR + À, R > À>, à BR correspond R/R,. Donc nous avons une représentation. Si d’autre part ® est une classe de GH/H, 8 contient un élément AX, À étant dans G et X dans H. Si $& est la classe de G (mod. [G, H]) qui contient 4, R> 8. Donc la correspondance est une homomorphie. Enfin si aux classes R,, @ est associée la même classe @’, il en résulte que, 4, désignant un élément de 8, et 4 un élement de R;, 4,47! est dans Æ. Mais cet élément est aussi dans G, donc dans [G, H] et on a 8, = @. La correspondance est donc une isomorphie.

Lemme 2 (Principe d’isomorphie de Hasse). Si un groupe abélien G est homomorphe à un groupe G'/H, les éléments de G dont le correspondant dans cette homomorphie est H' forment un groupe H. Les groupes G/H, G'/H! sont isomorphes.

Soit À un élément de G; désignons par R’4 la classe (mod. H") qui lui est associée par l’homomorphie donnée. Donc