SA142 = RAR

Si 4est dans A, on a R’4:4 = A. Donc À/4 ne dépend que de la classe $ (mod. Æ7) à laquelle appartient 4 On voit tout de suite que la correspondance $ + 8’ est une isomorphie de G/Het de G’/H..

Nous emploierons dans la suite une méthode de notations due à M. Hasse qui permet de simplifier beaucoup l'écriture. On désignera par une lettre spéciale des éléments jouissant d’une certaine propriété, éléments qui seront en général des nombres ou des idéaux. La propriété étant supposée telle que le produit de deux éléments ayant la propriété ait encore la propriété, l’ensemble des éléments ayant la propriété considérée forme un groupe que l’on désigne encore par la même lettre que ses éléments.

Par exemple désignons par æ les nombres ayant une propriété P ; les idéaux principaux représentables par un nombre ayant la propriété P seront désignés par («), et les unités par s. Soit 8 un sous-groupe

5) Le théorème est encore vrai si @, H sont des groupes quelconques, à condition que À soit un sous-groupe invariant de GA. Car alors [G, H] est aussi invariant dans Get le théorème se démontre de la même manière.

d'indice fini du groupe «. Nous nous proposons de comparer les nombres ((æ):(8)) et (œ: 8) Ona

eo (ae:B) (xe:fe)(Be: 8) (œe : æ) (æe : «) D’après le lemme 1, on a æ/a = a/[a,e], Be/B— B/[B,el. D’après le lemme 2, on à (æe : Be) = ((«):(8)). D'où

La formule est valable toutes les fois que les indices qui y figurent sont finis.

Lemme 3 (Lemme de Herbrand). Soient G un groupe; q un sousgroupe de G d'indice fini, T\ et T, deux homomorphismes de G sur lui-mème tels que pour tout élément À de G on ait TiT\A) = TA) = 1, et que Ti9C 9, BgC 9, rti=1, 2) le groupe des éléments À tels que T(A) = 1. Ona

(T1: TG) ch (C9, ni] : T:g) :

CARO TE T a)" la formule devant être interprètée dans ce sens que si les indices qui figurent au second membre sont tous deux finis il en est de même de ceux qui figurent au premier membre et les deux membres sont égaux.

En effet écrivons

(G:9) = (G:gr2) (gr: 9).

En vertu du lemme 2, (G:g7:) == (TG :T:g). En vertu du lemme 1, (gr2:9) = (72: [9 r2l). Par hypothèse ([9, 72] : Tig) est fini. Comme (72: [9, rl) est fini, Gz2: 9) = Ge: [gs r2l) (Lg ral : M9) et (2: Z:g) est fini, donc à fortiori (72: 1G) (LG est contenu dans 7: en vertu de 7,T;(4) = 1 pour tout A). De plus on a

Na 2: T9) = GG: TG) an =tme:Bno CR) (me: np (Rme: T9 SE era e) onto) On a une formule analogue en permutant les indices 1 et 2 dans le calcul qu’on vient de faire; en divisant ces formules membre à membre,

on obtient le resultat cherché.

Produit direct. Base d’un groupe abélien fini.

Soient Gi, Gh,..., G, des groupes. Considérons formellement tous les systèmes $ obtenus en prenant dans chacun des G; un élément 4, Nous écrirons $ = (41, 4,..., À,); 1S et S’ étant deux de ces systèmes :

S = (Ai Annee) À,), 5: A (4;/, Are, ZA),

376 C. Chevalley.

appelons produit de ces deux systèmes le système