SS

On voit tout de suite que cette loi de composition des systèmes S a les caractères 1), 2), 3), 4) énoncés plus haut. Donc les systèmes S forment un groupe qu’on appelle produit direct des G; et qu’on désigne par G@ % Ga X . x G Ce produit direct contient un sous-groupe isomorphe à G; composé des éléments (1, 1,..., 4;, ..., 1) où 4, parcourt les éléments de G. On désignera encore généralement par À, l élément précédent. On à

(4, Are, À;) = IT A,, AA; = A;4;

et les À; sont appelés les composants de (4,, 4, ..…., 4,). La condition nécessaire et suffisante pour que //4, = 1 est que tous les 4; soient égaux à 1.

Si chacun des G, est d'ordre fini N,, leur produit direct a pour ordre le produit des N,.

Ceci pusé, soit G un groupe abélien fini quelconque. On a la théorème fondamental suivant :

Théorème de la base. Un groupe abélien fini G est produit direct de groupes cycliques. :

1) Soit N l’ordre de Get soit N = /]]p{" la décomposition de N i=1 en facteurs premiers. (G étant abélien les éléments & dont l’ordre est une puissance de p; forment un groupe Gp,.° Déterminons pour chaque à un entier », tel que nm [LP =1 (mod. p;*) j+i et à tout élément s de G associons l’élément Pa = SUR Tio est toujours dans Gp, et si o est dans Gp, To est égal à 4. Associons maintenant à a l'élément (T0,..., T,o) du produit direct des Gp. La formule o — {To montre immédiatement qu’on a un isomorphisme de Get de ce produit direct.

2) Il suffit donc de démontrer le théorème dans le cas où N = p°, p étant un nombre premier. Déterminons par récurrence une suite de sous-groupes G;, de G de la manière suivante: G, = 1; G;: étant déterminé, on a Gi = (Gi-1, a!) où aj est parmi les éléments de G un de ceux qui

6) En effet, si 07° = 1, ol8 = 1,8>&,ona (oo')P$ = oPPo'P = 1.

appartiennent dans G/G;.;, à une classe (mod. G;:) d'ordre maximum pri. Donc n;,1<n;, Démontrons par récurrence le théorème suivant: il existe dans G; un élément d'ordre égal à pri, soit 9,; tout élément

de G; se met sous la forme /[o//; sic est un élément de Get si j=1

î p'iri ad Nr ne 2 ; : k 2 & Îo, on à 7, = 0 (mod. pis). Supposons le théorème “ j=1 : :

démontré pour à — 1 et soit o;

= 0 (mod. pri). Posons

1,7 ; > PU ot... of Donc les &, sont tous

a = ce Pl Nu L'HRSEe PL #;

La plus petite puissance de 5, dans G;, est ap" et ce dernier élément est égal à 1. On a donc G; = Gi: X (oi), et, r désignant un élément de A soit rPMtirt — d° Re di, d'où TP"i — Eur — Mi+1 Arte UE OL CE élément est dans G;-:, donc le dernier facteur est égal à 1, et pour j € 4, Épu—mis est divisible par pi, ce qui démontre le lemme pour la valeur 1.

On à Gi = (o:1) X (o2) x ... x (ao), et, l’ordre de G; augmentant constamment avec 1, G; est égal à G pour une valeur assez grande de à, ce qui démontre le théorème”.

Les éléments 5, construits sont tels que tout élément de G se mette d’une manière et d’une seule sous la forme o = Jai, 0 x; < pu. On dit qu’ils forment une base de G.

Nous aurons souvent à utiliser le fait suivant: soit À un groupe abélien, et soit Æ un sous-groupe de À d’indice fini. Donc le groupe A/H est fini, et par suite produit direct de groupes cycliques, que nous pouvons mettre sous la forme K,/11, les K; étant des sous-groupes de À contenant Hi = 1,2,..,r). Soit H, le groupe composé des K,, j + à. Le groupe 4/H, est cyclique comme isomorphe à X;/H, car tout élément de À se met sous la forme ax, où a est dans K;, x dans Æ;. De plus Æ est la partie commune aux A, En effet, un élément de 4/A se met sous la forme aa a, où a, est dans K;/H, et il n'appartient à Æ;/H que si a;=1. Cet élément n’est donc J lui-même que si tous les a; sont égaux à 1.

Réciproquement si les H, sont des sous-groupes de À d'indices finis ny Soit H leur partie commune. Si (4 : H) est égal au produit des n,, le groupe A/H est produit direct des groupes 4/H, En effet, associons à chaque élément a de À l'élément aa .… a, du produit direct des 4/H,, & étant la classe modulo A, qui contient a On a un homomorphisme de A sur le produit direct des 4/H;. Si chacun des a; est égal à 1, a doit

7) Cette élégante démonstration est dûe à M. de £éguier, loc. cit. (2).

378 C. Chevalley.

être dans chacun des A, donc dans A Donc on a une isomorphie de A/H sur un sous-groupe du produit direct des 4/H,. Si (4: H) est égal au produit des n,, ce sous-groupe est égal au produit direct lui-même.

Les mêmes considérations faites en remplaçant 4/H par le groupe de Galois d’une extension relativement abélienne montrent que: si K est relativement abélien par rapport à k, K est composé de corps K relativement cycliques par rapport à k, et le groupe de Galois de K'est isomorphe au produit direct des groupes de Galoïis des X,} Cette 1s0morphie peut être réalisée en associant à chaque automorphisme 6 de K V’automorphisme 6, de K, qu’on obtient en soumettant les nombres de K, à l’automorphisme s.

Réciproquement, si les K, sont des corps relativement cycliques par rapport à k, le corps À composé des X; a un groupe de Galoïs qui, au moyen de la correspondance précédente, est isomorphe à un sous-groupe du produit direct des groupes de Galois des X. Si le degré de K par rapport à Æ est le produit des degrés relatifs des K;, ce sous-groupe est le produit direct tout entier.

Caractères d’un groupe abélien fini.

Soit G un groupe abélien fini. On appelle caractère de G toute fonction 7(5) d’un élément de G qui est + 0 et qui satisfait à la condition suivante: Si 5, o° sont deux éléments quelconques, on a

A(oa°) = X\0) : H(o°).

Il en résulte Y(o)=X(o)x(1). Donc 7(1)=1. Si o" = 1, on a (4(a)}"=1. Donc 7(r) est toujours une racine de l’unité. Supposons G décomposé en produit direct de groupes cycliques G,, et soit o = 06, ... s, la décomposition correspondante d’un élément. Ona

ot X(o) est un caractère de Gi. Réciproquement, si pour chaque à, 7, est un caractère de G;, la fonction 7(a) = /l};(o;) est un caractère de G. Or, pour un groupe cyclique formé des puissances d’une substitution + d'ordre n;, un caractère est bien défini par la valeur de (Tr), qui est une racine nème de lPunité. Il y a done n, de ces caractères qui sont distincts. La réduction précédente montre que G possède //n, caractères distincts, donc autant que d'éléments. De plus le produit de deux caractères %, 4° (c’est-à-dire la fonction 7(o)Z/(o)) est encore un caractère : les caractères de ( forment un groupe. Pour G; ce groupe est cyclique d'ordre nr. Donc pour tout groupe abélien G, le groupe des caractères est isomorphe à (.

Sur la théorie du corps de classes. 379 Considérons un élément 6 de G et la somme ss? 1(o) étendue à tous les caractères 7. Soit % un caractère a On a Le) Dao) = Jante) = 21e) X X

Si o + 1, il y a toujours un y, tel que x{s)+1. Soit en effet o — 1...5,, la décomposition d’un élément 5, et soit par exemple 9, + 1. Posons Ai(o1) Æ 1, Hors) = .… = Y,(a,) = 1. Le caractère 42 --. Y, sera différent de 1 pour o. Il en résulte que

| RE Do) =-0, | Sorel Do) — x (ordre du groupe).

De même considérons un caractère 7 quelconque, et la somme Bi 4(0)

étendue à tous les éléments &« de G. Considérons un élément o, et

formons HO AR OO

il y a un caractère Y, (caractère principal) égal à 1 pour tous les éléments o. Six + il y à au moins un os tel que Y(o) + 1. Donc

DA) = 0 Si +»

D'A(0) rh CS Représentations”.

On dit qu’on a une représentation de degré d d’un groupe G quand on a une homomorphie de G avec un groupe de substitutions linéaires à d variables :

Co) où 6 OC = x = (077, T; (à, j = 1> 2.0)

de déterminants + 0. Deux représentations sont équivalentes quand elles se déduisent l’une de l’autre par un changement linéaire de variables.

8) Nous ne pouvons ici donner les démonstrations des théorèmes que nous ne faisons qu'énoncer. On trouvera les démonstrations dans Speiser loc. cit. (2), ou, au point de vue des nombres hypercomplexes dans “ Van der Waerden, Moderne Algebra ”, Springer, 1930, 2me partie.

380 C. Chevalley.

Etant données deux représentations, P, P”, on en déduit une représentation P + P' de la manière suivante: si les substitutions de P opèrent sur d variables x,, celles de P’sur d’ variables 7, on forme d + d’ variables z;, et on astreint les d premières à subir les opérations de P, les d’ dernières à subir celles de P’. A la place de P + P, on écrit 2P, etc.

On démontre les faits suivants :

G! étant un groupe fini, il existe k représentations (dites irréductibles) P,, P:, ., P,, telles que toute représentation soit equivalente à une représentation de la forme n,.P + ... + n,P, et à une seule.

On appelle caractère de o dans la représentation P le nombre Se les caractères ainsi définis coincident, dans le cas des répresenta-

j tions irréductibles des groupes abéliens avec ceux dont on a parlé plus

“haut. Si on désigne par Y(o) les caractères dans les représentations P, on à

{(0) SE 210) "1 RENE T Pnln(S)

et ces égalités, écrites pour tous les 5, déterminent entièrement les n,.

Donc si dans deux représentations P, P’ les caractères de chaque substitution sont égaux, ces représentations sont équivalentes.

Les nombres ”, s’interprètent de la manière suivante : il y à ", systèmes de formes linéaires des variables sur lesquelles opère P dont chacun est formé de formes subissant les opérations de P.

Si le groupe G est abélien, les représentations irréductibles de P, sont de degré 1 et elles sont fournies par les formules x = 7(ax, (a) désignant un des caractères précédemment définis.

Champs de Galois.

Dans un corps de nombres algébriques, les entiers forment un groupe additif À. Un idéal a est un sous-groupe de X' et on sait que X'/a est un groupe ne contenant qu’un nombre fini d'éléments, nombre égal à la norme Ma) de l'idéal a. On peut encore entre les classes À de Y/a définir une multiplication: 8 et 8’ étant deux classes (mod. a) le produit d’un élément « de 8 par un élément & de $’ appartient à une classe SA qui ne dépend que de & et de À’. En effet si &, æ’ sont deux autres éléments pris respectivement dans @, À’, on a æ& = æ + a, œ'= a+ 4" où à, a’ sont dans à ; d’où, a étant un idéal, œ@° = &æ + &”, a” étant dans a.

On a RTR) = (RRIR”, AT = R'A, RL + À) = RE + RE’.

Mais les classes À ne forment pas un groupe. Par contre si a est un idéal premier, les classes & + 0 (0 désigne l'élément unité de Y/a, c’est-à-dire la classe composée des nombres de a) forment un groupe, car dans ce cas, si @, æ sont deux nombres premiers à à, il existe toujours un nombre 3 tel que & = Bœ’ (mod. a).

Or, un groupe additif dans lequel les éléments + 0 forment par une autre loi de composition (multiplication) un groupe abélien, la multiplication étant distributive par rapport à l'addition, est appelé un corps. L’importance des corps provient du fait que les identités et les algorithmes algébriques sur les polynomes sont valables dès que les coefficients appartiennent à un corps. Par exemple: f(x) et g(x) étant deux polynomes, ils ont un plus grand commun diviseur d(x) de la forme Af(x) + ug(x). -

De l'identité f(x) = f(a) + (x — a)-g(x) résulte que la condition nécessaire et suffisante pour que l’équation f(x) = 0 admette la racine a est que f(x) soit divisible par x — a; si une équation ‘(x) = 0 de degré n admet les racines D Les ess OIL À

À) = te — a) (6 — #3) (8 — 2) et l'équation n’admet aucune autre racine.

Si un polynome f(x) est irréductible dans un corps (c’est-à-dire n’y admet aucun diviseur non constant de degré inférieur au sien) et si un autre polynome g(x) à coefficients dans ce corps a dans un sur-corps une racine commune avec f(x), g(x) est divisible par f(x).

Ceci posé, le groupe des classes modulo un idéal premier nous a donné l’exemple d’un corps qui ne possède qu'un nombre fini d’éléments. Un tel corps est appelé champ de Galois. Nous allons étudier ces COrps. | |

h désignant un entier positif ordinaire, on conviendra que dans un corps À quelconque, h représentera la somme de h éléments égaux à l'élément unité de la multiplication. Le groupe additif des nombres d’un champ de Galois R étant fini, l'élément unité de la multiplication y est d'ordre fini p:p est un nombre premier, car si on avait une décomposition p = pp”, pet p” étant < p, on aurait p'+ 0, p'+ 0, et p’p"—= 0 ce qui est impossible dans un corps. Ce nombre p s'appelle caractéristique du corps. De la formule (1 +... + 1x = x +... + x résulte que px = 0 pour tout x. Donc, dans le groupe additif, tout élément + 0 est d'ordre p. Le groupe lui-même est d’ordre p°. Donc:

382 C. Chevalley.

Le nombre d'éléments d’un champ de Galois est la puissance d'un nombre premier.

Considérons maintenant le groupe multiplicatif des nombres + 0 de R. Ce groupe est d'ordre p° — 1. Soit dle plus petit nombre tel que pour tout élément a du groupe, on ait a = 1 (d divise p® —1) Il en résulte que les p° — 1 éléments du groupe sont solutions de l’équation z*—1—0, ce qui n’est possible que si dZp° —1 d’où d=pf-1. D'autre part décomposons ce groupe multiplicatif en produit direct de groupes cycliques d'ordres qf (les qg étant des nombres premiers). d sera évidemment le p.p.c.m. des qgf et p° — 1 leur produit. L'égalité ne peut avoir lieu que si pour chaque q il n’y a qu’un composant cyclique (a) dont l’ordre est une puissance de g. Maïs dans ce cas les puissances de l'élément /Ja, engendrent le groupe entier qui est eyclique. Donc:

q | 4 « 22 el Le groupe multiplicatif d’un champ de Galois à p° éléments est le groupe cyclique à p° — 1 éléments. Tout élément a du champ satisfait à l’équation p?

a. ia.

Il résulte de là que, f(x) étant un polynome dans le champ de Galois

considéré, on a Ga)" = fa?)

Soit r un champ de Galois à p° éléments et soit À un champ de Galois à p” éléments contenant r. Il existe un élément x de R tel que tout autre élément + 0 de À soit une puissance de #. D’autre part soit f le degré de l'équation de plus bas degré à laquelle satisfait + dans r. Par un raisonnement bien connu”, on voit que toute fraction rationnelle de x à coefficients dans » se met et d’une seule manière sous la forme do + +... + ay", les @; étant dans r. Donc quand les @&; parcourent indépendamment les éléments de », l'élément précédent parcourt tous les éléments de R. Il en résulte que R possède p*/ éléments, d’où

De plus si f(x) — 0 est l'équation de degré f à laquelle satisfait +,

. » . 9 les racines de cette équation sont #æ, x? ,… Elles sont toutes

distinctes.

9). Exactement comme en théorie des corps de nombres algébriques, quand on démontre que tout nombre du corps engendré par le nombre 4 se met sous la forme Go + 10 + .… + 4n-10-1, les 4; étant rationnels.