Chapitre II

Corps de décomposition et corps d’inertie.

Soit un corps fini de nombres algébriques k et soit K un sur-corps relativement galoisien de k&. Soit G le groupe de Galois de Æ par rapport à k. La correspondance biunivoque établie par la théorie de Galoïis entre les corps K’ compris entre k et Ket les sous-groupes G’ de G sera traduite.en disant que K’ appartient à G’ ou que G’ appartient à K7.

Soit $ un idéal premier de K de degré absolu F; soit p le nombre premier rationnel divisible par $. Hilbert a attaché à Ÿ$ une série remarquable de sous-groupes de G que nous allons définir en partie”.

1) L'ensemble des opérations de G changeant $ en lui même forme le groupe de décomposition G; de $.

Le corps appartenant à G, est le corps de décomposition K;. L'idéal premier de K, divisible par $ sera désigné par $..

2) L'ensemble des opérations o de G telles que, pour tout entier A de Æ on ait

cA = À (mod. $)

forme le groupe d'inertie Gr de Ÿ.

Le corps appartenant au groupe d'inertie est le corps d'inertie Ky. L'idéal premier de K, divisible par $ sera désigné par y.

On désignera par » le champ de Galois formé par les classes d’entiers de # modulo bp, où p est l’idéal premier de k# divisible par # ; de même R;, Rr, R seront définis d’une manière analogue par Ÿ, et K,, Pr et Kr, $ et K. Ona

FOURS C RPC.

Les notions précédentes n’ont été introduites que par rapport à une extension parfaitement déterminée K/k. Mais il résulte immédiatement des définitions que :

Théorème 1. Si k’ est un corps contenu entre K et k, appartenant au groupe G, les groupes de décomposition et d'inertie de $ pour l'extension K/k' sont [G,, G'] et [Gr, G].

Soit | p = (BP Dh

la décomposition de p en facteurs premiers dans X, chacun des facteurs étant de degré relatif f ; e sera appelé exposant relatif des 4. On a efg=n

10) Toute la théorie est exposée dans ‘“ Hasse, Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkôrper ”, Leipzig, 1930.

384 C. Chevalley.

(n étant le degré relatif de K) comme on le voit en prenant les normes relatives des deux membres par rapport à k. On suppose $ = 4.

Choisissons g* opérations o& = 1,02, ... o,* de G telles que tout élément de G se mette et d’une seule manière sous la forme 0,6, 6 étant dans Gz;. Remarquons que toutes les opérations de 9,4, changent %$ en le même idéal premier 5,%$ qu’on peut supposer être $,. Sii+j,ona GS + 6,8, car sinon on aurait 0; o$ = Ÿ, o; a, serait dans G,, ce qui n’est pas. Comme tous les idéaux $, se déduisent de l’un d’eux par des opérations de G, on a g* = g. Donc:

Théorème 2. L'ordre du groupe de décomposition G, est TE f.

Appliquons ce théorème à l’extension X/K,;. En vertu du Th. 1, on adicGzi= "Gr... Donc:

Théorème 3. L'idéal premier $, de K, n’est divisible que par un idéal premier de K.

D'autre part Gr est un sous-groupe invariant de G;. Soit en effet À un entier quelconque de X, = une opération de Gr, o une opération de Gz. On a par hypothèse +(o-"4) = 67'A (mod. $), d’où oro-'A = À (mod. $) et oro-! est dans Gr.

Or les opérations o de G; changent tous les éléments d’une classe modulo $ en les éléments d’une autre classe. Elles peuvent donc être considérées comme des automorphismes du champ de Galoïs R formé par ces classes, laissant invariants tous les éléments de R,. Or, À représentant un élément de R, le polynome /1(x— A), le produit étant étendu aux opérations de G',, est à coefficient dans ÀZ. D'autre part À (dont nous supposons que ses puissances engendrent tous les éléments + 0 de À) satisfait dans BR, à une équation irréductible de degré f*, ayant pour racines les A°/* (voir p. 382). Le premier membre w(x) de cette équation doit donc diviser (x — o A). D'autre part, & étant un automorphisme de R par rapport à R,, tout oA est racine de æ(x) = 0. Donc le nombre des «A distincts est égal à f*; mais ce nombre est aussi égal à l’indice (GZz: Gr). Donc (Gz: Gr)est égalà f*. De plus il y a une substitution & de G, telle que «A = APF* et toute opération de G!, est de la forme o°r, tr étant dans Gy.

Appliquons les considérations précédentes à l'extension X/K7. En vertu du théorème 1, on a ici @'=@, Gr =G, Kz = Kr, Kr = Kr. D'où f'*=1, R=R7 = Ry Le degré relatif de $ par rapport à By étant (R:Rr), $ est de degré relatif 1 par rapport à y. Yy n'étant divisible dans X que par un seul idéal premier (Th. 3), on voit que :

Théorème 4. Tout nombre de K est congru (mod. $) à un nombre de Kr. L'idéal $ est de degré relatif 1 par rapport à Kr, et Pr est une puissance de $.

L'application de la formule efg = n à l'extension K/K7 montre que si Pr = P°', e* est égal à (K: Kr), donc à l’ordre de Gr. L'idéal Pr divisant p, on a e* <e. D'autre part G; est d’ordre ef, et on a vu QU NC: Gr) =". Donc =" érfr EMES FE CR: R,) 1 = (REF). DO Destformuls ere fee fetfr = , ondéduit * =. J* =f. Donc G,; est d'ordre e et Ÿ7 — Ÿ°, ce qui montre que p n’est pas divisible par le carré de F7. Comme $# est le seul facteur premier de $, dans K7 et que $, n’est pas divisible par son carré, on à y; = Pr. Enfin, de f* — f résulte R, = r, donc que $, est de degré relatif 1 par rapport à £ Donc:

Théorème 5. L'idéal $, est par rapport à k de degré relatif 1. Ilreste idéal premier dans Ky, c’est-à-dire Pz = Pr. On a Pr = Y°.

Théorème 6. Le groupe G,/Gr est cyclique. G; contient une substitution o définie à la multiplication près par un élément de Gr et telle que pour tout entier M de K'on aït:

oM= MY (mod. $).

Soit k° un corps compris entre k et K et appartenant au groupe G”. Soient €’, f’, g', les nombres définis pour l'extension XK/k' comme €, f, g le sont pour l'extension K/k: Si p’ est l’idéal premier de k” divisible par $, on a dans K

p = (BP OCE Br)”.

1) La condition nécessaire et suffisante pour que f=f, —e, c’est-à-dire pour que bp soit de degré et d’exposant relatifs { par rapport à k est que G, — Gz, car G/ est alors d'ordre ef et contenu dans Gz, d’où, d’après le théorème 1 G D GZ. Donc:

Théorème 7. K; contient tout corps k’ contenu dans K dans lequel l'idéal premier p’ divisible par $ est de degré et d’exposant relatif 1 par rapport à k.

2) La condition nécessaire et suffisante pour que € =e, c’est-àdire pour que p’ soit d’exposant relatif 1 est que Gr = Gr, d’où G4). Gr. "Donc:

Théorème 8. K} contient tout sous-corps k' de K° contenant k dans lequel l'idéal premier p’ divisible par Ÿ est d’exposant relatif 1 par rapport à k.

Cas abélien.

Envisageons le cas où Æ est abélien par rapport à k, c’est-à-dire où G est abélien. Remarquons que dans le cas général si o%$ est un idéal premier conjugué de $ il suit tout de suite de la définition que les groupes de décomposition et d'inertie de 6$ sont G07", 6Gro7. Dans le cas présent ils se confondent donc avec Gz7, Gr.

Définitions. Un idéal premier d’un corps Æ est dit complètement décomposé dans un corps K contenant k quand il se décompose dans K en produits d’idéaux premiers distincts de dégré relatif 1 (donc en nombre égal au degré relatif de K). Il est dit complètement ramifié dans K s’il est puissance d’un idéal premier de K de degré relatif 1. Il est dit ramifié dans K s’il est divisible par le carré d’un idéal premier de XK.

Dès lors les théorèmes 7 et 8 donnent dans le cas actuel :

Théorème 7a. Le corps de décomposition de $ est le plus grand corps contenu dans K dans lequel p soit complètement décomposé.

Théorème 8a. Le corps d'inertie de $ est le plus grand corps contenu dans K dans lequel b ne soit pas ramifié.

Ces corps, qui ne dépendent que de p, ainsi que les groupes correspondants, sont aussi appelés corps et groupes de décomposition et d'inertie de p dans K.

Considérons un idéal premier pb non ramifié dans K. Alors G, est cyclique, et pour chaque facteur premier $ de p dans K, G, est engendré par une substitution © telle que, pour tout entier À de K, on ait

A À (mod. P).

D'où 7 étant une opération quelcouque de G, ror- À = AM (mod. 7%).

Or or”! = o; donc 64 — AV est divisible par tous les facteurs premiers de p dans K, donc aussi par leur produit p Done :

Théorème 9. X étant relativement abélien par rapport à k, soit p un idéal premier de k non ramifié dans K. Il eviste un automorphisme © de K d'ordre f, engendrant le groupe de décomposition de p et tel que pour tout entier À de K'on aît

sd = A (mod. p).

On désigne la substitution précédente par la symbole ÉL2 OUT quand il n’y a pas d’ambiguité possible, par és) Ce symbole est

appelé symbole de Frobenius. Nous allons en donner quelques propriétés.

es ’ ue 71 a) K7 étant un corps compris entre k et KX,on a ) + Œ) p p

la flèche indiquant que l’automorphisme du second membre résulte de l’application aux nombres de K’ de l’automorphisme du premier membre. Cela résulte immédiatement de la définition.

b) Si Ket K’ sont des sur-corps relativement abéliens de # dans lesquels l'idéal premier p n’est pas ramifié, cet idéal n’est pas non plus ramifié dans KK’. En effet le groupe de Galois de KK” (rappelons que lon désigne par KK7 le plus petit corps contenant K et K’) par rapport à k est un sous-groupe du produit direct des groupes de Galois de K'et de K” (voir p.378). D’après la définition du groupe d'inertie, une opération du groupe d'inertie de p dans XX” induit des automorphismes de K, K” qui appartiennent aux groupes d’inertie de p dans ces deux corps,

donc qui sont égaux à 1. Donc (ÉS) est défini, et en vertu de a)