CAS DE LA VITESSE DE TORSION VARIABLE

XXXVIIT. Nous avons mis le gain du couple sous la forme dC =T do — y dt. L'existence de ce terme y dt est démontrée par les mouvements consécutifs directs et rétrogrades pendant les arrêts et au début des détorsions. Le temps crée donc à lui seul des phénomènes et doit être considéré physiquement et mathématiquement comme variable indépendante. Il s’agit d'approfondir le rôle de rec pendant la torsion, le long de Ja

On peut écrire

Pour déterminer l'influence de cette vitesse, fixons un

parcours G décrit avec une vitesse », et des arrêts T dont

la durée soit un nombre m donné de fois la durée d’un

nm

tour, = =. Le parcours fixé, changeons la vitesse en

maintenant m constant, et déterminons les nouvelles amplitudes. Tout revient à changer l'unité de temps et, d’après les règles connues, le choix fait pour T a l’avantage que, pour de petites valeurs de m, la déperdition après l’arrêt est sensiblement indépendante de la vitesse. Exemple. — Fil recuit 1°, 80 X 30; limites égales et de signe contraire; les parcours en chiffres gras sont faits à la vitésse de 1 tour en 506, les autres à la vitesse de 1 tour en RIT

Amplitudes. Amplitudes.

(CO 4,300 GS a

L’amplitude croît avec la durée du parcours; l'effet du changement de vitesse croit avec la grandeur du parcours.

XXXIX. Pour savoir sur quelles parties des courbes v agit principalement le changement de vitesse, comparons les deux courbes dont les amplitudes sont précédées sur le Tableau du signe *. Elles coïncident exactement, jusqu'au couple 2,89 compté à partir de la limite supérieure, soit

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sur les 2 du parcours total. C’est seulement à la fin que la courbe ABC (fig. 14), correspondant à la petite vitesse, se détache de la courbe ABC correspondant à la grande vitesse, tangentiellement en dessous (la figure exagère la différence). L’allongement si notable de l'amplitude du parcours correspond au gain de ces 0,03 T. Au point de vue

Fig. 14.

Couples.

Azimuts

amplitude, diminuer la vitesse revient à augmenter la grandeur G du parcours.

Supposons qu’on fixe le parcours à une vitesse v, puis qu'en un point B, d’une courbe AÀ,B, C,, on diminue brusquement la vitesse; la nouvelle courbe A,B,C' se détache brusquement de la première par-dessous; mais elle continue ensuite parallèlement. Le parcours est notablement allongé comme précédemment, mais l’allongement ne provient que des portions tout à fait terminales de la courbe.

Dans la seconde expérience on rattrape brusquement, suivant B,C°, une courbe analogue (non identique) à la

courbe précédemment décrite ABC/. Donc on ne peut mettre en évidence le ressaut que si le point B, est voisin de l'extrémité C, de la courbe.

Ainsi, avec le parcours G — 2,98, en effectuant à la vitesse de 1 tour en 151° les 22 du parcours et passant brusquement à la vitesse de 1 tour en 436, on constatait

un abaissement de la courbe de 0,005 T à peine : la valeur de = —"Y sur la courbe A,B,C; au point B, était 0,206T.

XL. On voit à quel point la fonction k s'écarte d'être déterminée par rapport au couple, même pour un parcours fixé. Un abaïissement insigniliant du couple, effectué à torsion constante par un glissement intérieur, change sa valeur du tout au tout. Ce résultat concorde avec ce que nous savons de la variation de la fonction de déperdition après l’arrèt en fonction du glissement.

L'état du fil, en chaque point d’un parcours, serait complètement défini par la connaissance numérique de deux quantités; tout serait connu pour des variations infiniment petites des variables indépendantes au voisinage de ce point.

Posons dx =—M dg + N dû;

avec la relation dC —T da —:y dt, cette équation définirait l’état du fil ; il sufhirait de connaître les valeurs numériques de M et N.

Soit d’abord ds = 0; ona

dC > 0, dy > 0, NdG > M dg.

On arrête brusquement

M do — 0, dû <o, dg > 0, = (F + N) dCG ;

dy est devenu brusquement négatif, et comme les deux

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termes qui donnent sa variation agissent dans le mème sens, y décroît très rapidement.

Pendant cette décroissance, M et N varient eux-mêmes. L'expression de la déperdition donnée au $ XX VI, à supposer qu’elle soit théorique, est le résultat de l’intégration des équations ci-dessus, à l’aide des relations, d’ailleurs inconnues, qui définissent M et N, et qui sont très probablement deux autres équations différentielles.

Ces cousidérations montrent le peu d’intérêt que présente la connaissance, sous forme finie, des équations des courbes d’un parcours, même bien déterminé, même à supposer qu’on ait par hasard rencontré la forme théorique. Car si, à l’aide de M et N, on peut trouver l’équaion d’une courbe de définition quelconque, la réciproque n’est pas vraie.

XLI. Supposons que la vitesse de torsion soit toujours de même signe et de la forme a + b sinwt. On fait entraîner la corde cicscs (fig. 2) par une poulie excentrique de rayon a dont le centre est à une distance b de l’axe de rotation (la condition b <a est satisfaite), et qui tourne d’un mouvement uniforme. La corde de retour passe sur un tenseur. La corde tirante étant horizontale, les maxima et minima de vitesse se produisent quand la portion de circonférence de l’excentrique la plus éloignée de l’axe de rotation se trouve dans la verticale de cet axe.

Soit e la période du phénomène évaluée en azimuts; les maxima de vitesse se produisent, par exemple, pour les azimuts 0, €, 2e, .... Quand on s'éloigne du point anguleux, le couple croit d’abord constamment; puis, la courbe € — (x) présente une tangente d’inflexion horizontale ; enfin, des maxima et des minima relatifs.

", Soient 4j, 2, d,,

%,, «.. les azimuts correspondant aux maxima (%,) et aux minima (z«) du couple. L’écart

et A ,: = ae :

da, d'un maximum relatif au minimum suivant, d’abord

nul, croît peu à peu pour devenir égal à … Les minima et

les maxima du couple se produisent après les passages aux minima et maxima de la vitesse. L'écart azimutal entre un minimum de vitesse et le minimum du couple suivant varie peu; la variation de a*a? dépend donc presque uniquement du retard des maxima du couple par rapport aux maxima et minima de la vitesse.

Si la torsion se prolonge suffisamment, la valeur des maxima et des minima du couple devient sensiblement constante, et à la variation de vitesse correspond une oscillation du couple entre limites invariables. La fig. 15 représente le phénomène.

Fig. 19.

Couples:

Max.devitesse .

Max. devitesse.

Y B; Min. de vitesse

Torsions.

La différence évaluée en couples entre un maximum et le minimum consécutif, d’abord nulle, tend vers une limite qu’elle atteint quand les valeurs des maxima ou minima deviennent constantes.

XLII. On a cherché à obtenir directement les couples en fonction des vitesses dans le cas limite où l’oscillation des couples se fait entre valeurs constantes. On a lixé, sur

56 H. BOUASSE.

l'axe de rotation de l’excentrique, un disque de cuivre sur lequel sont soudées des aiguilles à des distances angulaires telles que leur passage dans un azimut donné (où elles rompent un contact électrique) correspond à des valeurs de la vitesse variant en progression arithmétique.

La courbe obtenue (/g. 16) est fermée.

Fig. 16.

Couples.

Vitesses de torsion .

On peut admettre qu’au bout d’un certain nombre de tels parcours, la fonction‘; est exprimable en fonction deC, en ce sens qu'elle reprend la mème valeur au passage par le même couple dans le mème sens de variation des couples : elle a donc généralement deux valeurs pour chaque couple, une d’aller et l’autre de retour. Il est probable, vu la forme de courbe obtenue ( fig. 16), que cette fonction, même dans ce cas si particulier, est très complexe.

Positions d'équilibre dynamiques et statiques.

XLIIT. D’après l’énoncé généralisé de la règle IIE, si lon suppose les liaisons rigides, la courbe de torsion est

la droite C — T8 ou plus généralement la courbeC = T(8), si Ô désigne dans ces conditions l’angle de torsion. Si les liaisons ne sont pas rigides, la courbe de torsion réelle C—v(x) a une forme telle que AA, A, (fig. 17). Nous avons appelé glissement ou déformation permanente cor-

Fig 17.

Couples.

A2 À; A je Azimuts CA CA

respondant au parcours À, À, la distance &,«, des points de l’axe des azimuts où l’on reviendrait à partir des points A, et À, suivant la courbe parfaitement déterminée et caractéristique du fil C—T(6) (dans nos expériences, une droite de coefficient angulaire l). Ce sont là des définitions incontestables.

Passons à la définition des positions d'équilibre.

Le fil est dans un état d'équilibre, quand il exerce un couple nul sur un corps qui y est suspendu. Donc le corps est dans une position d'équilibre statique du fil, s'il reste au repos une fois qu'on l’y a mis; il passe par une position d'équilibre dynamique si la vitesse y est maxima, les forces extérieures (résistance de l’air, etc.) étant négligeables.

Si le corps, qu'on suppose seulement pouvoir tourner

B, fe

58 H. BOUASSE,

autour de J'axe du fil vertical, est dans une position représentée par le point À, du plan, qui n’est pas d'équilibre, il est illusoire de parler d’une position d'équilibre correspondant à À,, car il en existe une infinité. Pour chaque manière d'arriver au point À, du plan, et à partir du point À,, pour chaque parcours choisi et chaque manière de l’effectuer, on parvient à une position différente d’équilibre statique, après avoir passé par une série de positions différentes d'équilibre dynamique, tant que la vitesse ne s’est pas encore annulée.

On peut évidemment considérer comme position idéale d'équilibre le point , obtenu en supposant le fil détordu suivant la loi C=T(6); mais généralement aucune position réelle d'équilibre ne coïncide avec celle-là.

Il est illusoire de parler de l'énergie potentielle contenue dans un fil pour un point donné du plan, sans spécifier suivant quelle méthode on entend l'utiliser.

Les paragraphes suivants sont destinés à montrer combien, à partir d'un pointdonné du plan, il est facile de faire varier la position d'équilibre statique définitive.

XLIV. Imaginons que le fil supporte un disque de verre dont le pourtour est divisé en degrés. On le tord par son extrémité supérieure, suivant une loi à peu près uniformément accélérée, d’un angle A, (généralement 520°), en un temps donné (généralement 4). On rend le disque libre d’obéir au couple de torsion, un temps + après la fin de la torsion : il tend par une série d’oscillations à revenir à sa position d'équilibre. Supposons qu’il porte fixée sous lui, dans un plan vertical, une plaque de métal légère sous laquelle on peut élever un vase plein d'huile par le moyen d’une crémaillère. On peut ainsi introduire un (frottement liquide, donner aux oscillations un décrément logarithmique variable, et modifier la loi d'amortissement.

Connaissant l’azimut initial I du disque, avant le lancecement, et lazimut final F, on détermine le changement

de distance angulaire A résultant de l'opération pour deux plans passant par le fil et invariablement liés à ses extrémités : c’est le glissement total. Plaçcons-nous au-dessus du fil, tordons positivement de 520°; si le disque tourne positivement de 520°, A — 0; s’il tourne d'un angle moindre, A0; d'un angle plus grand, A Lo. La position finale F n’est d'équilibre que si on la détermine un temps suffisant après l’opération.

La plaque pouvait s'enfoncer de 8°" dans l'huile; en soulevant le vase de 6°" le mouvement devenait apériodique.

Le frottement de Pair était négligeable. Pour arrêter le disque pendant le temps +, on avait collé dessus une pelite tige, contre laquelle venait buter l’extrémité de l’armature d'un électro-aimant. On lisait la graduaiion du disque à distance à l’aide d’une lunette très grossissante.

XLV. Oscillation des positions d'équilibre. — On arrête le disque un temps constant += 10"; on le laisse ensuite osciller avec un amortissement négligeable pendant 0, 1,2, ..., p demi-oscillations. Au commencement de la (p + 1}, ce qui correspond à un point B, ou ES (fig. 18), on produit un amortissement considé-

rable en soulevant le vase plein d'huile; le disque tend apériodiquement vers une position d'équilibre statique E