ÉTUDE DES ROTATIONS D'UN MIROIR COLLÉ EN UN POINT DU FIL
Quelle influence ont les rotations relatives des plans tangents le long d’une génératrice du fil sur la position d’un miroir collé en un point de ce fil?
Supposons le fil cylindrique et homogène et les déformalions instantanément propagées : les plans tangents le long d’une génératrice AE (/ig. 4) sont parallèles. Tor-
Fig. 4.
dons le fil par en bas d’un angle EF et prenons perpendiculairement à AE des longueurs ef proportionnelles à la rotation des plans tangents ; la courbe obtenue est la droite AF. Lächons l’extrémité inférieure : cette droite AF, pen-
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dant l’oscillation, oscille elle-même autour de la position moyenne AE, si du moins il n’y a pas de déformation permanente.
Si la torsion EF dépasse un certain angle, il y a déformation permanente, mais la courbe des azimuts reste droite; elle oscille seulement autour d’une nouvelle position moyenne AK. Donc si le fil est homogène et la propagation instantanée, rien dans celte courbe ne peut indiquer la déformation permanente, puisque, chaque fois que le plan inférieur revient en K, le plan à la hauteur Ee revient en X.
Nous dirons qu’il y a glissement en un point du fil, si deux plans tangents, contigus sur une génératrice, tournent l’un par rapport à l’autre d’un angle g. Supposons fixes les extrémités du fil; en un point C(/ig. 5), ilse pro-
; His; A
duit un glissement £ ; on demande le déplacement angulaire du plan tangent en un point M, à la distance y de l'extrémité inférieure : le fil étant toujours homogène et les déformations instantanément propagées.
On verra que le déplacement angulaire du miroir est
ty
quel que soit le point C, pourvu qu'il soit au-dessous du point M;
Je
quel que soit le point C, pourvu qu'il soit au-dessus du point M.
Par convention un glissement est positif, si le plan supérieur tourne en sens inver& Agiguilles d’une montre, quand on le regarde du zénith, Ycelativement au plan inférieur. Si le fil est tordu positivement par en haut (en sens inverse des aiguilles d'une montre), généralement les glissements sont positifs tout le long du fil. Les extrémités du fil restantimmobiles, la rotation du miroir est exprimée en grandeur et en signe par l'intégrale
2 Dé M R=ICEN (Cf RE + de).
l DEA Venr PA
b 1. dg le glissement moven entre à et b,
Appelons
DT la rotation du miroir est positive, si le glissement moyen au-dessous est plus grand que le glissement moyen audessus.
Supposons enfin que l'extrémité supérieure tourne d’un
PE q P
angle A, et l’extrémité inférieure d’un angle A;, le miroir tourne d’un angle
Dr
F- y y HD (Pan) (f'ur-)] 0 NC
Une rotation vue du zénith, dans le sens des aiguilles
d’une montre, est positive pour lextrémité supérieure, négative pour l’extrémité inférieure.
Soit maintenant un fil non homogène que l'on tord paren haut. La courbe des azimuts n’est plus rectiligne et la
12 H. BOUASSE. nouvelle condition d'équilibre est que le taux de variation : dx à de Ja rotation des plans tangents le long du fil, +» soit re dy
en raison inverse dela constante élastique en chaque point, soit b(y). La courbe des azimuts est
LES A ET) pe 11
W étant une fonction déterminée par l’état du fil.
Soit AB la courbe précédente (fig. 6). Il se produit
Fig. 6.
en C un glissement : c’est, au point de vue de la nouvelle forme de courbe, comme si A, devenait À, — &
g- Pour les points au-dessous de C, on a
Y(y) æ1 = (As —£g) es
Pour les points au-dessus de C, on a
La rotation du point M est
SPP ; :
Àæ— W(4) Y(7)—Ww(y)}, si le glissement s’est fait au-dessous;
iv Fo" (7), si le glissement s’est fait au-dessus.
Posons
ROUE) = Up) Ü a I ‘as w(2) LARMES ETES E
Les extrémités ayant tourné de A, et A;, le déplacement du miroir est
NA ES DCE) — Tr) PS De eo) Hs DÉFINITIONS.
Un fil est élastiquement homogène quand 4(Yy) est une constante; W(y) est alors proportionnelle à y. Un fil est homogène au point de vue de la cohérence ou des liaisons
SR de intérieures, quand de est une constante.
Dans un fil complètement homogène, R —0; la rotation d’un miroir est linéaire en A, et À; quels que soient les glissements.
Réciproquement, la condition pour que cette rotation soit proportionnelle à A; pour À; = 0, où proportionelle à À; pour À, — 0, est que R soit nul.
Donc Fo Le = vof, 4e
Il y a peu de chances pour que cette condition soit satisfaite, si elle n’est pas identique; si on l’admet telle, elle revient à poser dg — Bdzx, où B est une constante. Si le fil n’est pas élastiquement homogène, deux plans doivent subir un glissement relatif proportionnel à l’angle dont ils tourneraient sous l'influence des seules forces élastiques, la cohérence étant parfaite.
L'élasticité et la cohérence n'étant liées en aucune façon, cette condition ne peut être satisfaite que :
1° Si le fil est complètement homogène;
2° Si, le fil étant homogène ou non au point de vueélas-
14 H. BOUASSE.
tique, les glissements sont nuls. Cette conséquence est nécessaire, si lon sait que le fil n’est pas homogène au
point de vue des liaisons intérieures PE
