Appliquons cette Règle à l’équipollence précé

dente (1). Si les deux premiers termes ont des inclinaisons égales, c’est-à-dire si l’on a

incl AB + incl CD — incl AD + incl BC, en remarquant que

incl AD — incl AB — angle BAD, inciCB — incl CD — angle DCB,

il viendra angleBAD + angle DCB — incl CB — incl BC — 180°.

Donc, si la somme de deux angles opposés d’un quadrilatère est égale à 180°, on aura, par la Règle en question,

gr (AB.CD) + gr(AD.BC) — gr(AC.DB),

ce qui donne le théorème connu de Ptolémée.

Si, au lieu de cela, dans le quadrilatère ABCD, les deux angles opposés BAD, DCB ont pour somme 90° ou 270°, on aura, par la seconde partie de la Règle,

gr(AB.CD} + gr(AD. BC): — gr(AC. DB).

Si des trois pornts B,C, D (fig. 5) sont en ligne droite,

Fig. 5.

et que, de plus, on ait angle BAC — angle CAD — 60°, il viendra alors

incl(AB.CD) — incl(AD.BC) — incl AB —+ incl CD — incl AD — incl BC —ncl AB — incl AD — —1202.

En outre, incl(AD.BC) — incl(AC.DB) — incl AD — incl AC + incl BC — incl DB

donc, en vertu de la dernière partie de la Règle IT, nous aurons

gr(AB.CD) — gr(AD.BC) — gr(AC.DB (;

He I ;

d’où il résulte ensuite que (BC, - BD, CD étant trois

droites en progression arithmétique) AD, 2 AC, AB se-

ront en progression harmonique.

16. La méthode peut encore servir à démontrer les théorèmes de la Géométrie élémentaire. Aïnsi, par

(19) exemple, si à la droite AC (/ig. 6) on mène les deux perpendiculaires égales et opposées CB, CD, on a