COS

Mais si l'angle est exprimé en parties du rayon, alors

>t t D CDS LES CEE F 1T ou, à cause de 1 — e”, et —- et COS LE

mn

M. Bellavius simplifie Ja notation en posant & = «*. Maloré l'avantage que présente cette simplification dans les caleuls, nous conserverons ïei la notation habituelle, pour nous écarter le moins possible des usages reçus. Ainsi e ou s! est un coefhictent d'inclinaison comme t", avec cette différence que Punité de « est Pangle droit, et celle de t l’are égal au rayon.

Le second membre de l'équipollence

OM cosr.OA.+'sint.OB

peut se développer ainsi

+ (OA — i.0B}cit + “(OA + i.OB) et 2 32

I Du “I = — OK.e"+ — OK,.e"!, 2 2 ce qui fait voir que l'ellipse peut s engendrer à la manière d’une hypocycloïde, au moyen des deux rotations opposées et, eT*.

98. Avance d'établir les formules générales relatives aux courbes, ?! ne sera peut-être pas inutile d'étudier

(35) quelques-unes des propriétés de la cycloïde, représentée par l’équipollence

(1) OM — + — ie.

En prenant la dérivée par rapport à {, on a, pour la

tangente à la cycloïde, (2) MERE On à, pour une portion de la normale,

MN = 46 MT = 5 + ie, ce qui nous donne

ON=OM+MN— # + à.

De mème que OC — t donne la position du centre du cercle générateur, de mème on aura

CN HONOR i:

donc la normale passe par le point N, où le cercle générateur touche la base DB.

On obtient un autre point R de la normale en posant

OR = OM + pMN— #6 — ieit+ pif + et).

Pour que cette valeur donne le point d'intersection de cette normale avec la normale infiniment voisine, il faut que le point R ne change pas lorsqu'on donne à £ un accroissement infiniment petit w, pourvu que l’on donne en même temps à p un accroissement convenable &. On doit done avoir

(1 + el — pet)o + i(i + ett}o 23 d:

L'irant de à la valeur de -; laquelle, étant réelle, devra

[en

(#06 } ètre égale à sa propre conjuguée, il vient

TD pet — eit— 1: pet et —

(A) + Ê(r + ct) ni — 1(1+ e7#) d’où — ip + i + ie — ipet + ic + à

—ip—i-- iet + pet — ie — i,

ce qui nous donne P sn 2

Donc le rayon de courbure MR est double de la normale MN.

Le lieu des centres de courbure, c’est-à-dire la développée de la cycloïde, est représentée par

OR = t + icil + oi, et est une cycloïde égale à la cycloïde primitive OM = t — eït.

Si de chaque point M de la cycloïde on mène la droite MS, formant avec MR un angle donné #, et ayant avec MR un rapport donné &, c'est-à-dire si l’on prend

MS — ae. MR, il viendra

OS — & — ieit + 2 aie{ri + et} — 2 aie + t + (2 ae —)ie!!,

et par conséquent la courbe S est aussi engendrée par la composition du mouvement progressif, exprimé par le terme {, avec un mouvement rotatoire de rayon constant 2ae"*— 1, Si a = cosa, la courbe S devient une eycloïde ordinaire, et elle est une développée imparfaite de la cycloïde M.

Si la cyeloïde M se meut parallèlement à Ta base, elle aura pour expression

(3) OM — + tre ici,

(37) + étant un paramètre de position, Pour trouver les tra- Jectoires orthogonales de toutes ces cycloïdes, observons que la mème équation (3) représentera aussi la trajectoire cherchée, si l’on détermine ! en fonction de 7, de manière à particulariser dans chaque cycloïde le point où celle-ci est coupée par la trajectoire. La tangente à la

trajectoire sera, par suite, représentée par la dérivée

et celle-ci doit être perpendiculaire à la tangente 1 + €“ de chaque cycloïde ; d’où l’on conclut que

dr

de ve #3 et, partant,

T=CG—»2t.

Donc toutes les trajectoires orthogonales sont exprimées par l'équipollence

OM = C — #4 — ie"!,

et ce sont d’autres cycloïdes égales à la proposée. La dérivée de l’arc de cycloïde est

gr MT — YMT. conj MT = ÿ{1 + eë)(1 + et)

= it —“il ER ENN L EOT NRA EDS :

29. Quelle que soit la fonction OM qui détermine une . courbe, nous pourrons déterminer la développée par les calculs suivants. OM est la direction de la tangente: par conséquent, le rayon de courbure

MR — = dOM

06 } est une position de la normale, et la développée, comme

enveloppe de toutes les normales, sera donnée par la relation

OR = OM + - ZOM, À pourvu que À soit une fonction du t{ contenu dans OM,

telle que MR devienne tangente à la développée au poiut R. Pour cette raison la ligne

\ t td dOR = dOM + -:d?20OM — = .4OM À A

doit être parallèle à la ligne z. dOM. En multipliant par con] dOM, on voit que

dOM..conj dOM + = . conj dOM.d'OM À

devient parallèle à 1. En ajoutant donc à cette expression sa conjuguée, on aura

2 4OM.con] OM + d {con] dOM.d?'OM—dOM.conj 4'0M)—0. À

On obtient ainsi la valeur de À, d’où l’on déduit que

MR — 2(dOM }:. con] ZOM oo ON ON

La valeur de À qu'il faut substituer dans MR — : dOM

peut se tirer encore du développement de

d'OM L Éon ah parce que cette supposition rend identiquement nulle l'expression i { d'OM con] d’'OM ES con; Z0OM / |