MR
31. Déterminons la courbe P parallèle à la courbe donnée M, c’est-à-dire ayant avec elle toutes ses normales MP communes.
Le point P appartenant à la normale, on aura
OP — OM + ip.dOM.
En outre, la tangente en P, qui est déterminée de direction par la relation
dOP — dOM + ip.d?'OM + idp .dOM,
doit être parallèle à la tangente dOM. En muluüpliant
(41) par con] OM, nous aurons
pi.conj dOM.d?OM + idp.dOM.conj 4OM parallèle à ZOM.con; OM, c'est-à-dire d'inclinaison nulle, et partant équipollente à sa propre conjuguée — pi.dOM.con]j d'OM — idp.con]j dOM.4OM.
On en conclut
2 dp d'OM .d?'OM — — — + CON] ———»
P dOM dOM
et, en intégrant,
D ne V«4OM..conj dOM
Donc la distance entre les deux courbes est
MP — Ci d0M "7 2 V con, d0M°
et, par suite, elle est de grandeur constante, et Îles courbes sont vraiment parallèles.
Supposons plus généralement que MP forme avec la tangente un angle constant &, et que la tangente en P doive être encore parallèle à la tangente en M. Prenons l’équipollence
dOM = eds.
On aura OP = OM + pei(#1) ds;
et le parallélisme de dOP = eds + peï(®+1) (d?s + ids dO) + ci) dpds
et de dOM = eds donnera pet (d?s + idsd0) + e“dp ds — per (d?s — i ds d0) + ce“ dp ds,
d’où l’on üre, en intégrant, rie Ce C £ t AL ne p-coic P S 3 : étant une constante, et a — e”!*. Par conséquent, MP = Ca"eita+t),
Donc toutes les droites MP qui sont coupées sous un angle égal et constant par les deux courbes M et P, sont respectivement équipollentes aux rayons vecteurs d’une spirale logarithmique.
32. Déterminer la direction de la droite MP, qui, partant du point M d’une courbe, coupe en deux parties égales la corde infiniment petite parallèle à la tangente en M.
Ce problème est le dernier de la Géométrie de position (p. 477 et suiv.). Il à été résolu par M. Bellavitis, dans son Mémoire intitulé Saggrio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria analitica, Padoue, 1835, avant la publication des solutions de MM. Transon (1841) et Dupin (1848).
Soient N, L les deux points de la courbe correspon dants à { + w et à t — &. On aura
ON — OM + w.D,0M + —: DOM +. a
Go? — m.
LN — (o + s&).D,OM +
