HO * DOM

et, pour que cette corde soit parallèle à la tangente D, OM, il faudra qu’il en soit de même de la droite 3(w — ©) DOM + (0? — ww + s°) D, OM +...,

. . ( y r L qui, multipliée par la quantité réelle + (o + ©), et

ajoutée géométriquement à la droite (o + &)D,OM,

(45) donne la droite LN. Les accroissements w, & devant être infiniment petits, il faudra que w — & soit infiniment petit du second ordre, comme l’est 6°? — &ù + &°, qui se réduit à w°. En posant b-H—= 10, il faudra déterminer la quantité réelle g, de manière que l’on ait 3q.D?OM + D'OM — r. D,OM,

r étant pareillement réel; après quoi la direction de la droite qui va de M au milieu de LN sera donnée par la

relation

MN ML — fo 0) DOM ut +0, OM,

ou par celle-ci MW — 4.D,0M + D;OM.

Prenons pour exemple la développante du cercle, OM — | et040.

En supposant d°0 — 0, il faudra rendre réelle l’expression 3q(1+0i) + (2i +0),

CG qui donnera q = — , el, par suite,

55 0 ATEN | (r MW — (3 mn si) e Donc, si l’on prolonge le rayon de courbure SR de la développée MR, de RW — . OR, la droite MW passera par

le milieu de la corde de F courbe M, qui est parallèle à à la tangente en M et infiniment voisine de cette tangente :

( 44) théorème qui est vrai pour une courbe quelconque, et qui donne avec une grande facilité le rayon de courbure des développées des sections coniques, puisque dans ces courbes MW est le diamètre qui passe par M.

33. Déterminer la trajectoire obliquangle des ellipses concentriques et confocales, c’est-à-dire trouver Îa courbe M, dont la tangente ait une inclinaison égale à la demi-somme des inclinaisons des deux rayons vecteurs FM, F, M, plus un angle constant.

Cette condition

incl OM — . (incl FM + inclF, M) + «

est exprimée par la relation dOM — pei® VEM.F, M.

Le mode de variation de la variable t, dont dépend OM, étant arbitraire, on peut donner à p une valeur réelle quelconque, propre à simplifier les formules. Posons

dt PS 9 EF PO.

sin & L'équipollence

dEM = (cota + à) ÿ(CM + 2)(CM — 2).&t,

intégrée par les règles connues, en se rappelant que

dEM — dCM, donne

CM — cet(cote+i) D = PSC

ou, en posant e°"*— 4,

cat ei!

On peut facilement établir le mode de génération de la trajectoire M au moyen de deux spirales logarithmiques, trouver le rayon de courbure de cette trajectoire, etc.

(45) 34. Terminons par deux problèmes faciles de Mécanique.

1. Un corps pesant est soumis à l’action de la gravité gi; par suite, sa vitesse sera donnée par la relation

dOM dt

= git-+c,

c étant la vitesse horizontale. Sa trajectoire sera déterminée par la relation

OM=—-git + ct +a,

et, en choisissant convenablement la constante &, nous

I ci \° om À gife—*) .

La vitesse du corps au point M de sa trajectoire est équi-

aurons

pollente à /2gr.ONL: donc la direction de la vitesse partage en deux parties égales l’angle compris entre la verticale et le rayon vecteur, et cette vitesse est proportionnelle à la racine carrée de la distance du corps au

foyer O de la parabole.

IT. Trouver le centre de gravité de l’arc de cercle