SECTION TROISIÈME

DES APPUGÀTIONS DU GÂLGDL Â LÀ GËOMÉTRIB.

72. Nous étudierons dans cette section quelques-unes des propriétés générales des lignes courbes menées dans Tcspace d*une manière quelconque, ainsi que quelques points importants de la théorie des surfaces.

Soient Xj y etz les coordonnées d'un point variable quelconque rapporté à trois axes coordonnés fixes donnés, nous représenterons ce point par le vecteur p, défini par l'équation symbolique

p = xt + yjf + 2*.

Si Ton suppose que x^yetz soient des fonctions d^une seule variable indépendante l, p sera aussi une fonction bien dclorminée de la même variable et donnera, par la variation continue de t^ tous les points d'une courbe bien déterminée dont cette fonction symbolique servira à faire connattro les diverses propriétés.

La marche à suivre ne s'éloigne pas d'ailleurs de celle de Tanalyse ordinaire. Ainsi la corde a joignant deux points de la courbe définis par les vecteurs p et p, serait exprimée par

a = pj— p = (x, — a:)t + (y,— y)7 + (2,~z)*.

73. Par suite, la direction de la tangente au point p sera donnée par la formule

La distance de Torigine des coordonnées à cette tangente sera

r di) =rzdr

TV

TV

T — dt

de même la projection da vecteur p sar cette tangente serait

dt 7b' Les directions de deax tangentes successives étant

la perpendiculaire au plan déterminé par ces deux directions^ ou la direction normale au plan osculaleur, au point p de la courbe sera donnée par l'expression

Vp'(p' + fdt) ou par d(S ^ .

La longueur du dernier vecteur étant évidemment égale au sinus de Tangle des tangentes précédentes, et par conséquent à cet angle lui-même, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, on obtiendra, en divisant ce vecteur par c(p, qui lui est perpendiculaire, la direction du rayon de courbure, et le module du quotient sera égal à Tinverse de ce rayon. Ainsi une longueur égale à Tinverse du rayon de courbure, portée dans un sens contraire à celui de ce rayon, aura pour expression complète, comme il est facile de s'en assurer (n*" 29),

p'7~ Tp'- dt •

La longueur du rayon de courbure portée dans le sens môme du rayon serait donc

ce qui s'accorde avec la formule connue.

Remarquons qae si l'on prenait pour variable indépendante l'arc de la coarbe, compté à partir d'un point donné de cette courbe, on aurait

Tp'=i,p'=Up' et p"=dUp', et comme SUp'dUp' = ^ d (UpO' = 0, on

voit que p" sera perpendiculaire à p' .

Il est utile de remarquer qu'en général p étant un vecteur variable, cdJp est perpendiculaire à Up, ce qui résulte immédiatement de la différenciation de l'équation (Up)* = — 1 , qui donne S(Up . dUp) == 0.

La première des expressions précédentes deviendra donc — p"j et la se-

condO; qui donne le rayon de courbure, se réduira aussi à — ("7? )•

75. Pour avoir l'angle infiniment petit de deux plans osculateurs successifSy il suffit de même de considérer les directions des deux perpendiculaires à ces plans

Vp'p'' et Vpy + dVp'p" = Vp'p'' + d^Vp'p",

et de déterminer le vecteur-quotient de ces deux lignes. On aura pour l'expression de ce vecteur

Vp p TVp'p"

Développant le numérateur du second membre suivant la formule du n"" 60, il viendra pour l'expression de l'angle cherché, qu'on appelle V angle de torsion j au point p

SpVp'

dp

TVp'p"

76. L'angle que nous venons de calculer est donné par une longueur portée dans la direction de la tangente dp à la courbe considérée ; si l'on divisait par dp la ligne précédente, on obtiendrait un quotient purement numérique , qui est ce qu'on appelle l'inverse du rayon de seconde courbure et dont la valeur est, comme on voit,

TVp'p"''

77. Les directions de deux rayons de courbure successifs seront, d'après ce qui précède (74),

rfUp' dUp' d'Up' .

Tangle infiniment petit formé par ces deux rayons sera donc donné par

d*Up'

dtV

dU£' <//

cet angle étant porté sur une ligne perpendiculaire au plan mené par les deux rayons de courbure consécutifs.

Mais on peut encore trouver une autre expression du même vecteur en prenant pour direction de ces rayons de courbure (7i)

p'Vp V et pTpV + dt j pTp Y + p'Tp V j ,

ce qui donne pour la valeur de Tangle cherché

\p'Vp"p' ^ p'Vp"p' ) ''M VpY ^9')

Or diV^ et diS :^-;^ sont (74 et 75) des longueurs égales aux angles de

contingence et de torsion de la courbe portées respectivement, la première sur la normale au plan osculateur, et la seconde sur la direction de la tangente à la courbe. Cette formule , qui donne en même temps l'angle des rayons de courbure et la direction de la perpendiculaire à ces rayons , équivaut à deux théorèmes découverts par Lancret.

78. La formule qui donne la distance de deux droites (56), appliquée au cas où les droites sont infiniment voisines , conduit dans la théorie des courbes et des surfaces à quelques résultats intéressants. Pour en donner un exemple, proposons-nous, comme Ta fait M. Bouquet, de chercher Tordre infinitésimal de la distance de deux tangentes successives à une courbe donnée* Soit p le vecteur d'un point de la courbe, la tangente en

ce point aura poar direction p^ et celle de la tangente Buivante serait p' + p"dij et comme la distance Ap des points de contact peut être mise , par le développement en série, sous la forme

Ap = P'A/ + ^ [tuY + jÇ^ (A/)* + etc.

On voit qaMl faut absolument tenir compte dans Texpression de Ap des termes du troisième ordre pour que la distance cherchée

Apuvp V + p"rf/) = Apuvp'p

ne soit pas nulle. Cette distance devient donC| en tenant compte des termes de cet ordre.

Dans le cas où la distance des tangentes serait partout du quatrième ordre, cette courbe satisferait à l'équation différentielle

Sp'pv = 0,

laquelle équivaut à

^ vp'p'' - "•

Or (35) le vecteur Vp'p'" est la fonction dérivée de Vp^. Donc on aura par rintégration (34)

uvpv = Ut,

y désignant un vecteur constant. Le plan osculateur de la courbe actuelle serait donc constant, par suite la courbe serait plane, et la distance de ses tangentes, rigoureusement nulle.

79. Abordons maintenant quelques points de la théorie des surfaces. Désignons encore par p le vecteur d*un point d'une surface, ici p sera une fonction de deux variables indépendantes quelconques exprimées ou sousentendues , que nous désignerons toujours dans ce qui va suivre par les lettres tietv; les diverses valeurs attribuées à ces variables détermineront sur la surface deux systèmes de courbes que nous appellerons (U) et (Y), et qui s'obtiendront en faisant varier, pour tracer les courbes de chaque sys-

lème, Tune des variables, Tautre restant constante. Ainsi, dans chacune des courbes (U) la quantité v variera seule , et , au contraire , ce sera la variable ti qui seule changera dans chacune des courbes de Tautre système (Y). La variation totale dp correspondant à un déplacement infi^ niment petit quelconque du vecteur p sera par suite composée de deux parties, et Ton aura

( -j^ J et ( -r^ j désignant deux vecteurs qui sont les dérivées partielles du

vecteur p par rapport à chacune des variables indépendantes. En établissant une relation quelconque entre les variables ti et v, p deviendrait fonction d'une seule variable, et Textrémité de p décrirait alors une courbe assujettie à rester sur la surface. En supposant, par exemple, que t; soit une fonction donnée de u , on aurait pour l'élément de la courbe correspondant à cette fonction

Ouelle que soit la fonction vetsa dérivée algébrique—, il est visible

que rélément dp demeurera toujours dans un même plan, perpendiculaire au vecteur

Ce sera le plan tangent à la surface au point p , et le vecteur précédent aura la direction de la normale à la surface au même point.

80. Les diverses courbes qu'on peut tracer d'un même point sur une surface donnée , présentent dans le voisinage de ce point quelques propriétés remarquables, et qui sont maintenant bien connues. Pour les étudier, posons

du'^"^' dudv ' ^^ dv^ '

p, q^ Tysett étant des vecteurs bien définis et fonctions de u et de v. Pour

obtenir une conrbe quelconque de la surface, supposons que u et v soient fonctions d'une môme variable, et désignons par u', v', u!' etV'... les dérivées de ces deux fonctions par rapport à cette seule nouvelle variable indépendante, l'inverse du rayon de courbure, ou la courbure de la ligne comptée sur la direction de ce rayon , sera pour la ligne considérée^ en faisant pour plus de simplicité l'élément dt=Tdp

Donc la projection de cette courbure sur la normale sera

en posant

V étant la direction de la normale à la surface au point p , ce qui donne

Svp = Svj = 0.

La formule précédente montre que la projection de la courbure sur la normale ne dépend en chaque point que des valeurs de ti' et v' ou de la direction de la tangente, d'où l'on conclut facilement, en remplaçant la courbure par l'inverse du rayon de courbure, le théorème connu de Meusnier.

81. L'équation précédente donne aussi le moyen de discuter avec la plus grande facilité les valeurs des diverses courbures, ou, ce qui revient au même, celles des rayons de courbure de la surface, et conduit aux théorèmes bien connus d'Euler que nous ne rappellerons pas ici ; ou en déduit encore l'équation des lignes de courbure, en définissant ces lignes par la propriété qu'elles ont de déterminer en chaque point suivant la normale un rayon de courbure maximum ou minimum. En effet, on a

dp =:pdu + qdv ou p' = jou' + qt/.

Prenant toujours pour unique variable indépendante la longueur de la courbe, et faisant Tp'=1, appelant de plus R le rayon de courbure variable dirigé suivant la normale en chaque point de la courbe, on aura

p'* =pv» + aspjt/t/ + î«t/« = — i

et

Le dénominateur, égal à — 1 , est mis dans cette dernière formule par raison d'homogénéité. On voit que par ce moyen la valeur de R ne dépend

plus que du rapport -; ou — ; il devient par suite facile de déterminer

quelles sont les valeurs de ce rapport qui rendent R maximum ou minimum* On trouve en effet, soit par la différenciation, soit par Tapplication d'une théorie élémentaire connue, qu'en posant

A = Svr— ;>'.R-* B = Svs— S/?y.R-* C=Svt — 9*.R-*

les deux rayons de courbure en chaque point de la surface seront donnés par l'équation du second degré