MISE

avec

NC Rire (D 2 NP Te

IL en résulte une application de la surface W sur le plan des £' : elle est, d’après (8) et (11), partout continue, sauf sur la coupure = 0. A un point æt— 71 du bord supérieur correspond un point

2€ A DA NE ENTE s:

9 = BAPE m Al 1 (0) (TE qe)

Cor

du bord inférieur, & étant égal à +1 ou — 1, selon que la parenthèse ci-dessus est plus grande ou plus petite que l'unité.

Si à ce plan des z’ coupé le long du rayon ®'— 0, nous appliquons la transformation 11e PTS DEL,

(14) Rat 2* eA log cA logr RAR QE a UN NUE . e °€A

alors au couple de points z'=7r'etz = 6" 7" liés par la relation (13) correspond au seul point z =.

La transformation (14) est singulière à l’origine, aussi avons-nous exclu le cercle-unité du plan des 3’. Mais ceci ne joue aucun rôle dans l'application des théorèmes 1 et 2 du Chapitre IE.

17. La représentation (quasi conforme) de la surface W sur le plan du z est, par conséquent, continue en dehors d’un certain cercle. Nous voulons montrer qu’elle est presque conforme dans le sens du théorème 2, Chapitre III. Étant donné l’invariance du coefficient de dilatation par rapport aux transformations conformes [vor (3)], on a

Dos Dr

car les transformations w > 3,, ,— 3! et 3 = sont conformes. Nous pouvons par suite écrire

2 dE, dnv | 6, À

2 —1 a», no 2!

- (: FE à ) N (l (DA dog z Het ad, LU d'logé,

MA

/ > ; { AVENS N dé, d'n, = Tee RSS y 1Va me ( me) eh (D:,x — 1) EE ESC

NT

Les dernières intégrales sous le signe de sommation sont en effet, d’après (10)

convergentes. D'après les théorèmes ! et 2 (Chap. IT) nous pouvons conclure que la surface W est de type parabolique et évaluer les quantités N(7r, a),

N,(r, a), T(r) de la fonction uniformisante dans le plan des z, son image presque conforme.