CRE

De l’autre côté, à un cercle |z'|=— 7’ correspondent, selon (12), »m demi-cercles des mn demi-plans H,(v% = 1, ..., mn) dont le rayon est CRT DT EE a

CG ee GENE BIENS ZE. à !

A un cercle |Ü,|—, correspond de nouveau dans le plan des z, (*°), image conforme de la surface R,(e ”) d’après (9), une courbe qui se confond asymptotiquement avec le cercle |z,|—p,. Pour les fonctions périodiques æ = R,(e°) la fonction caractéristique T,(r) est asymptotiquement égale à

Tr)? r.

Autrement dit le nombre de points images d’un point æ — 4 contenus dans le cercle |3,|<r, ©, est en général, c’est-à-dire sauf pour un nombre fini de

valeurs a, asymptotiquement égal à ©’r, où n, est le degré de R,. Donc en

mt nm

(ae Bri"<n(r,a)<Ar°",

(15) Nous avons supprimé plus haut, dans les n°5 14 et 15 les indices v pour ne pas encombrer l’écrilure.

où les constantes À et B ne dépendent que des quantités n,, dis; mM'el A: Par intégration on obtient

2 ! LA 2 5 (18) = Br eN(r A) Ar?

na ma

Comme ceci vaut pour presque tous les 4, on a aussi

2 SAR Le 2 Lo és PERRIN ET ES AU Sn my mt a d’où nous coneluons que Tuéorème À. — La fonction uniformisante d'une surface W à m bouts pérto-

diques et de caractéristique À est du type moyen de l’ordre 1m DA A?

9 2 2 Tram

Il sera démontré plus tard que dans le cas A — 0, défauts et indices sont rationnels. |

19. Nous comprenons maintenant pourquoi l’ordre de la fonction uniformi- » N A0 . / mt à sante des surfaces à 77 bouts périodiques peut dépasser la valeur — que possède

toujours l’ordre de l’uniformisante des surfaces à m bouts logarithmiques

(Jig. 10).

Fig. 10.

Dans ce dernier cas, on a en effet

di di ae de ae

et la caractéristique À est toujours nulle

SO lfieses

Une autre classe de surfaces à bouts périodiques où la caractéristique est toujours nulle, est celle des surfaces périodiques R(e°) caractérisée en particulier par

MS, RE ot 1 He D à,

de sorte que l’on a

Si nous remplaçons une moitié du réseau de R(e°) par sa symétrique comme l'indique la fi b face W' a indique la figure 12, nous obtenons une autre surface W' avec (7)

DE D, HE, Andre d;