EURE

rithmique mis en évidence, nous pouvons définir, par analogie avec (26), une longueur réduite L;

PR LE Cr 2 en ne Le (ru ge een St ) (== 007).

A cause de A, — A,— 0, L; ne dépend pas du sens de rotation choisi pour la numération des bouts.

Si d'(a), s'(a)et2?(a),e?(a) sont respectivement les défauts etindices de W, et de W,, on aura, d’après (20), par rapport à W,

Lidt(a)+ Ld(a)

£ Let(a)+ L.e?(a) (27) JO res

, (a) = Le

Les longueurs réduites s’ajoutent par composition (?*) : L=L, + L..

De la même manière une surface W peut être formée par la composition de plusieurs surfaces W,, W,, ..., toutes de caractéristique nulle. Mais il faut bien comprendre qu’il s’agit là d’une composition successive, c’est-à-dire qu’on forme d’abord W,+ W,, puis (W,+W,)+ W,, et ainsi de suite. Il n’est pas nécessaire que les W; soient deux à deux «associables », c’est-à-dire possèdent des points de ramification logarithmique sur un même point fondamental, mais 1l faut seulement que W;soit «associable » avec (W,+W,+...+ W;,). On a ici, comme généralisation de (27),

V'L0 VTT?

; 2 Hi0 (a) Ÿd' Lie (a) (28) d(A)= —— , E(A)= ——— \, EL, N'T:

Pa pe Paie

où À(a) et e(a) sont les défauts et indices de la surface de composition au point a, et 2'(a), e' (a ceux des surfaces partielles.

Comme surfaces partielles W,, W,, ..., nous prendrons les surfaces périodiques R(e°) ou celles qui se composent de telles surfaces périodiques. Toutes ces surfaces sont de caractéristique nulle.

24. Voici un problème que nous aurons constamment à résoudre dans le chapitre suivant :

PROBLÈME. — Étant donné deux surfaces « associables » W, et W, de longueurs réduites L, et L,, t s'agit de construire deux autres sur faces « associables » W' et W, sas faisant aux conditions suivantes :

1° W, et WW, possèdent respectivement les mêmes défauts et indices que W, BLNES

(2) Cela à cause de A; = À: = 0, c’est ce qui fait l'intérêt de la composilion de surfaces de caractéristique nulle.

Mr00

2° Les longueurs réduites L' et L, de N° et W' sont dans un rapport (rationnel) donné.

Solution.

où D;, N,;, N, sont des entiers, nous prenons alors pour W' une surface qui se compose de N,N,D, exemplaires W, et pour W,, une surface qui se compose de N,N,D, exemplaires W,. D'après (28), défauts et indices n’ont pas changé, et les longueurs réduites sont L'=(N/N.D)L=N NN, —(N,N,D,)L,=N NN:

elles sont bien dans Le rapport donné.