On a alors le lemme suivant
Lemve. — Sr les schémas (30) et (31) sont résolubles, alors le schéma (29) l'est ausst.
Démonstration. — Nous résolvons (30) et(3r) respectivement par les surfaces W, et W.. D’après le n° 24 nous pouvons en déduire deux surfaces W; et W, qui résolvent aussi (30) et (31) et dont les longueurs réduites L: et L, (par rapport à un point de ramification logarithmique commun) sont dans le rapport 2,:2,. Par la réunion de W' et W' nous obtenons d’après (27) une surface W
qui résout (29). ICQ. ED.
Nous exprimons symboliquement le fait en écrivant DEP LORD, LR Re Un ut (32) (+ en (1 / de 3, ( ]] ) és 5 €1 6 Do €y De Eq on ct O Re £y 20 Me 0 ET O + el” L '):
Ed: UE NO E ReUnE
D'après ce lemme nous pouvons ramener le schéma général de proche en proche à une « combinaison linéaire » de schémas des deux sortes suivantes :
a. Schémas avec un seul à, non nul:
b. schémas dont chaque colonne contient un seul élément différent de zéro, soit à, soit €.
Les premiers schémas sont étudiés au n° 27 sous le nom de schémas fondamentaux de première espèce (33).
Les derniers schémas peuvent être caractérisés par la condition
q V's 22 D 0ÿEy — 04
MA
Is s'appellent pour cette raison schémas orthogonaux (n° 28).
27. Schémas fondamentaux. — Ce sont les schémas qui correspondent aux fonctions périodiques R(e°).
Si l’on a R(o)= R(æ)— a,, on n’a qu’une valeur déficiente a, et le NE de la distribution s'appelle schéma fondamental de première espèce
(33) é * ù 'e ) (1'e espèce).
EN En En A - E
Si l'on à a, —R(0) <a, —=R(), il y a deux valeurs déficientes a, et a.
Le schéma correspondant s'appelle schéma fondamental de seconde espèce
OMLOMRLG 0 3 ( 1 À .. PAS (34) DANONE RE 1 Ce espèce).
La résolution de ces deux sortes de schémas est un problème algébrique. Sir est un dénominateur commun pour les nombres rationnels à, et €,, les schémas (33) et (34) peuvent s’écrire sous les formes
di te FANS CESR ET SU Ode et 130 FT (55) et ; ; € € es ce CN CA CG; CN RL ne POS HTONETE n
où les nombres d, et e, sont entiers.
D'après (21) nous avons à construire une fonction rationnelle R(u) de degré », qui possède des points de ramification seulement sur les points fondamentaux @, @, ..., 4, et d'après la répartition suivante :
1° Pour les schémas de première espèce :
Sur 4,, un point de ramification #*— d'ordre d*--1 et un point de ramification 4 — 0, d'ordre d=— 1, avec d*+ d-— d,; l’ordre total des autres points de ramification est égal à e..
Sur a, (= 2), l’ordre total des points de ramification est égal à e,.
2° Pour les schémas de deuxième espèce :
Sur 4,, un point de ramification w,— d’ordre d, — 1; l’ordre total des autres points de ramification est égal à e,.
Sur &,, un point de ramification w,—0, d'ordre :d,—1; l’ordre total des autres points de ramification est égal à e,.
Sur a, (v==3), l’ordre total des points de ramification est égal à e,.
Moyennant les relations (22) et (23), qui s’écrivent avec d,ete,, d\+e, Zn, An MSIE 206 d'(ds+ = 2n,
ces deux problèmes sont résolubles : la première exprime que l'ordre total des points de ramification sur un point fondamental a, est inférieur au degré de R(w), la deuxième exprime la relation de Riemann-Hurwitz. La résolution peut s’obtenir par la méthode des coefficients indéterminés. Mais nous allons donner en appendice (?*) une solution combinatoire en construisant directement Le réseau de R(w).
(25) Voir Appendices IL et IT.
THESE LE VAN THIEM
