ER PL
Avec la fonction rationnelle R(w) ainsi obtenue, nous formons la fonction méromorphe R(e°) qui, d'après (21), résout bien les schémas (33) et (34).
Une fois que les schémas fondamentaux sontrésolus, la résolution du schéma général se ramène à un système d'équations diophantiennes. Mais la solution de ce système loit satisfaire à des conditions tellement compliquées, qu’on pourrait à peine s’en sortir et nous préférons ici la méthode combinatoire.
28. Schémas orthogonaux. — On peut, en modifiant l’ordre des points a, s’il le faut, écrire un schéma orthogonal sous la forme
| d, d, N \ SR NON (e] o.. [8] à OURS + 0e laut. MOO NN n (40) E 7 e ñ (( ehiaita O V+-1 id... € 2) +1 ‘ à Fe CHE EE NES n êg
Pour y <2, nous avons un schéma fondamental, déjà résolu. Soit alors VESTE Nous choisissons d’abord le dénominateur commun tel que la somme d,+...+d, soit paire et définissons le nombre d par
di+di+...+d=2d "on.
Nous résolvons d’abord les schémas fondamentaux (de deuxième espèce) suivants :
dj NO FN ay
(#4 d , did 4 p = = O0 O0 (37) 4 D RE AT PTE 0 L à ; ms eve ég O [e) EME .. A 9 Q H +, : n n 7 pour toutes les combinaisons #, j —1, 2, ..., v.
La résolution de ces schémas fondamentaux d’après la méthode exposée au numéro précédent, fournit des bouts périodiques ®; de caractéristique nulle et tous de même longueur réduite | vosr n° 23, formule (26)]
Nous construisons, d’après le n° 23, avec les bouts ®;, une surface W à 24 bouts périodiques telle que parmi les 2 d points de ramifications logarithmiques de la surface, il y ait, sur le point fondamental ai; eXactement d; tels points
(1,2, ..., v). Chacun de ces d; points apporte au défaut de a; une contria ; Sa, I re : :
bution égale à M = 58 bien que le défaut total de a; atteint la valeur voulue
DR RE s n = D'autre part, l'indice de a,(4 << v) par rapport aux ®; est toujours 4, de sorte que par rapport à W, on a aussi e(a,) = ex. Donc la surface W résout bien le schéma orthogonal (35).
no
On remarque que pour v— g, tous les € sont nuls et l’on a le schéma résolu par M. Nevanlinna. Ce qui précède généralise justement la méthode qu’il a employée. y
Avec les schémas fondamentaux et les schémas orthogonaux, nous avons
résolu tous les schémas (29) et nous pouvons par conséquent énoncer le théorème suivant :
TRéoRÈME B. — Sous les conditions :
no S M +ÿ. Ey— 2; VAL 20 OUT ES rie q 9 EN F2 . 30° > 0,7< 0; 4° dy ET, RÉ STE y22 08
on peut résoudre le problème d’inversion à l’aide des surfaces W à un nombre fini de bouts périodiques et de caractéristique A nulle.
29. On peut se demander quel est le plus petit nombre » de bouts périodiques dont on a besoin pour résoudre un schéma donné. Ce sera pour gq fixe une fonction »(9;, e;) des nombres à, et &;.
De toute façon, si la méthode exposée a été nt pour démontrer la possibilité de résoudre le problème d’inversion posé, le procédé suivant donne plus rapidement la solution et nécessite un moins grand nombre de bouts périodiques.
Dans le schéma général (29)
à d» .. dy £1 £o .….. £g Ÿ considérons les €, pour lesquels à, est non nul. S’il le faut, nous changeons
l’ordre des a,, de manière que ces &, soient les r premiers indices rangés par ordre décroissant
Fe 0» 0. 00 0 ) , Es és Er Er+1 cg avec ETES En C7) TG je
Pour “2, nous avons un schéma fondamental. Soit alors r=3. Si pour tout v.-<r, l'inégalité TRS CS Bi
