PR MR
(31) Voir Appendice I.
y: DU
Nous commençons par le problème général suivant :
PROBLÈME. — Construtre une fonction R(u) telle que sur le point fondamental a, l’ordre total des points de ramification soit égal à »,,
QUE 9 he Évidemment les À, doivent satisfaire à certaines conditions qui découlent de la formule de Riemann-Hurwitz CA) ri <:
7 5 (45) Den r),
VE" à
où n est de degré de R(u). Il s’ensuit d’abord que la somme des À doit être paire. En exprimant ensuite que l’ordre total de ramification sur un point fondamental «, donné est inférieur au degré, on obtient les inégalités suivantes, dites inégalités du polygone
(46) NL T pie
Solution. — Nous représentons les données du problème par le schéma DEA ER ITS = AS dy PURE MP E où les À, satisfont aux relations (45) et (46). | Au n° 31 nous avons résolu le problème dans le cas g— 5. Supposons qu’on ait pu le faire jusqu’à 9 —r.
Nous construisons alors à partir des À, un Système de g nombres X — 0, À,,..., À, satisfaisant aussi aux inégalités du polygone (46) et tel que
T À A SX) ou DA X) =.
VA Ni=2
On peut obtenir un tel système par le procédé suivant : dans le système primitif on diminue d’une part À, d’une unité, d'autre part un des plus grands À restants aussi d’une unité. Sur le nouveau Système on recommence la même opération, c’est-à-dire qu’on diminue d’une part À; — 1 d’une unité, d'autre part un des plus grands À restants d’une unité et ainsi de suite jusqu’à ce qu'on ait enlevé au total 2}, unité à la somme totale des À. Il est facile de voir qu’à
chaque stade, Le système des À obtenus continue à satisfaire aux inégalités du polygone.
De en ie |
(32) Voir n° 7.
Res
Avec le système des X, obtenus à la fin, nous résolvons le schéma
où a, n'est maintenant plus qu'an point fondamental apparent. Il existe au moins un &, tel que À, soit vraiment plus petit que À,
À, ce À, .
Nous pouvons toujours supposer que c’est a, en modifiant s’il le faut la courbe L qui relie les points fondamentaux 4,. Considérons alors un diangle (a,) sur le point a, (**). Un des deux domaines algébriques qui lui sont voisins appartient à a,, appelons-le (4,); (a,) et (a, ) sont séparés par un segment reliant les deux sommets (nœuds) communs (fig. 22). En remplaçant ce
segment par une suite de 1 + 2 (À, — À) faisceaux composés alternativement de 1 et de g—1 segments (/g. 23), nous créons un domaine algébrique de 2+2(X,— X,) côtés, c’est-à-dire d'ordre À, — À’, sur le point 4,, tandis que
AN
Fig. DO À— N, = I.
l’ordre total de ramification sur 4, s’est augmenté de À, — À, pour atteindre la valeur donnée À. Au bord du nouveau domaine algébrique (a, ) ainsi créé, 1l y a sûrement un diangle (a;) appartenant au point fondamental a, et qui est
(33) Dans les figures 22 et 23, nous désignons les domaines algébriques correspondant aux points fondamentaux &, &, as, &, par les chiffres 1, 2, 3, 4.
