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) AAC

Les quantités 0(a) et e(a) s'appellent défaut et indice de la valeur 4 par rapport à la fonction /(z). On a l’inégalité évidente (1) | d(4) Le(a) a.

2. Le noyau de la théorie de la distribution des valeurs est constitué par le théorème suivant :

Ta£orÈME. — Entre les défauts et indices d'un nombre quelconque de valeurs dinde 0, 4, existe la relation | 4 7 Gas à (21 D'ô(a) +Ÿ Etam) 2.

===] Vi

Au point de vue topologique cela signifie que la surface engendrée par /(z) (type parabolique) ne peut être trop fortement ramifiée, car 2(a,) mesure pour ainsi dire la densité des points critiques transcendants sur a, et e(a,) celle des points de ramification algébrique.

Nous appelons exceptionnelles, les valeurs a pour lesquelles la somme (a) + e(a) est positive : d'après (2) l’ensemble de telles valeurs est dénombrable. Il en résulte en particulier qu’on peut aussi définir T(r) comme maximum de N(r, a) pour tous les a appartenant à un certain voisinage c’est-

(2) Poir R, NeyanLiNNa [1], [3]; G. Variron [1], [2].

PÉRURR

à-dire à un continu : il n’est pas nécessaire de considérer tous les 4 du plan des æ. Ceci trouve son application au Chapitre V.

3. Le problème d’inversion consiste à chercher une fonction æ—/(z) pour laquelle des valeurs données possèdent des défauts et indices donnés satisfaisant aux relations (1) et (2). Mais dans l’état actuel de la théorie il ne semble pas qu'on puisse attaquer ce problème dans. toute sa généralité. En particulier le cas d’une infinité de valeurs exceptionnelles semble encore inac-

cessible. On'ne connaît du reste aucune fonction avec une infinité de valeurs q q

. Q UE a b. CP exceptionnelles. En ce qui concerne la somme VE +Ù ,, bien qu'on

1 4 connaisse les exemples où elle n’atteint pas le maximum 2, la construction de telles fonctions avec une distribution donnée arbitrairement semble aussi dépasser les moyens dont on dispose actuellement. Finalement on est obligé de restreindre comme suit le problème d’inversion :

PROBLÈME D’INVERSION DE LA THÉORIE DE LA DISTRIBUTION. — À chaque point a, d'une sutle 4j, do, ..., 4, On attache deux nombres positifs $ 00 (@), EN =NCA), tels que T q :

Ôy + Eve et DCE) ÉVUx d

Construire une fonction méromorphe qui correspond à cette distribution.

R. Nevanlinna (?) a résolu ce problème dans le cas où tous les indices sont nuls : €, — 0, et les défauts à, rationnels, à l’aide des surfaces dites à un nombre fini de bouts logarithmiques (wotr définition au Chapitre IT).

Peu après, E. Ullrich (*) découvrit une classe de surfaces qu'il appelle surfaces à un nombre fini de bouts périodiques et qui sont les généralisations des précédentes. Il émit l'hypothèse qu’on pourrait résoudre à l’aide de ces surfaces les cas où les indices et les défauts sont rationnels. Il a prévu toutefois que, par suite de la périodicité des bouts, les indices £, doivent être choisis plus petits que 1. Nous verrons que cette restriction n’est pas suffisante : il faut que les sommes 9,+&, elles-mêmes soient plus petites que 1 à moins que &, ne soit nul. Avec cette restriction le problème d’inversion de Ullrich peut alors être résolu à l’aide d’une classe très simple de surfaces à bouts périodiques.

RE DR PRE SERRE LT Pa RÉ

0) R. NEVANLINNA [2].

5) E. Ucrricu [1], [2], [3].