SURFACES DE RIEMANN A UN NOMBRE FINI DE BOUTS PÉRIODIQUES

. Considérons une surface de Riemann F qui recouvre le plan des wi /f(s3). Un point de ramification de la surface F correspond à une coordonnée æ — a bien déterminée. Mais il peut arriver que plusieurs points de ramilication de F se projettent sur le même point a : nous disons que a est le point fondamental pour tous ces points de ramification. Par rapport à F, a s'appelle un point fondamental de ramification ou un point fondamental tout court.

Comme nous avons limité le problème d’inversion à un nombre fini de valeurs exceptionnelles : a, 4, ..., a,, il est naturel de considérer des surfaces qui admettent ces points et seulement ces points comme points fondamentaux. Les points de la surface qui se projettent en un de ces points fondamentaux a, peuvent être des points réguliers, ou des points critiques (algébriques ou transcendants), mais au moins l’un d’eux est point critique car autrement 4, ne sera pas considéré comme point fondamental. Il pourra nous arriver cependant de considérer des points fondamentaux apparents, sur lesquels la surface ne possède que des points réguliers.

6. Le réseau de Speiser-Nevanlinna. — Les surfaces à un nombre fini de points fondamentaux sont susceptibles d’une représentation très commode introduite par A. Speiser et R. Nevanlinna (‘), la représentation par réseau :

Soient a,, &, ..., a, les points fondamentaux de la surface supposée étalée sur Ja sphère de Riemann. Par ces points nous traçcons une courbe de Jordan simple fermée L qui divise la sphère en deux régions D, et D, simplement connexes. Si nous coupons la surface sur toute son épaisseur le long de L, elle se décomposera en un nombre fini ou infini d'exemplaires D, et D,. Nous considérons ces demi-feuillets D,, D, comme des polygones; les points 4, d, ..., à en sont les sommets, et les arcs (a; a), (a24;), (aça,) en sont les côtés.

Les sommets d’un polygone D,(v=—1, 2) sont de trois sortes :

1° Points de ramification d’ordre infini, autour desquels s’échangent une

infinité de feuillets D, + D, ; 2° Points de ramification d’ordre »# — 1 autour desquels se permutent cireu-

lairement m( > 1) feuillets D, + D, ;

(+) A. Speiser [1], R. NEVANLINNA [3].