Chapitre LT
1. Maintenant nous allons étudier le problème de M. GOURSAT pour une équation
d’une forme plus générale:
Dès l’année 1895, M. GoursAr résolut le problème sous des suppositions analytiques pourvu que les courbes données soient tangentes aux deux directions caractéristiques du point où elles se traversent!). Il se servait de la méthode classique de CAUCHY, appelée le »Calcul des limites». Peu après (en 1897), M. GoursAT résolut le problème, même pour le cas où une seule des courbes données est tangente à une direction caractéristique?). A la même époque, M. BEUDON démontra qu'on peut résoudre le problème de 1895 de M. GOURSAT pour une équation à un nombre quelconque de variables indépendantes®).
En 1906, M. GouRSAT a traité le cas général où aucune des deux courbes données n’est tangente à une direction caractéristique‘). Si
F(x,y,2,p,q,1,0 = ax +By +yz+ap +B,g +ar +bt+....,
où les coefficients sont supposés réels, la condition de possibilité doit naturellement être que l’équation soit hyperbolique, c’est-à-dire que
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Or, M. GourSAT ne réussit à résoudre le problème que pour le cas où & et b soient de même signe, et bien entendu qu'ils remplissent la condition mentionnée ci-dessus. Cet obstacle fut surmonté en 1911 par E. KE. LEVI, qui renonçait également aux suppositions analytiques de M. GOURSAT”). LEVI se sert d’approximations successives et emploie du reste des méthodes fort originales qui, pourtant, ne semblent pas applicables au cas où l'équation donnée a un nombre quelconque de variables indépendantes.
En 1921, M. HADAMARD étendait le résultat de M. BEUDON concernant une équation
linéaire au cas où une seule des hypersurfaces données est tangente à une caractéristiquef).
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) Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre t. I. p. 184. JTeçons t' Il p.303;
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) Bulletin de la Société mathématique t. XXV p. 116. ) Bulletin t. XXXIV p. 100.
) Annali di matematica, serie III, t. XVIII, fasc. 4:0 p. 287.
‘) Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations (New Haven; Vale University Press) DAT
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OLOF SJÔSTRAND
Je vais maintenant traiter le problème pour une équation de la forme la plus générale aux variables indépendantes d’un nombre quelconque, nonobstant si les deux réelles hypersurfaces données sont tangentes à une caractéristique ou non, généralisant ainsi les résultats de M. HApAMARD et de M. BEUDON. Je fais des suppositions analytiques et présume tous les coefficients dans les développements en série réels!).
