LI MELER EM
qui contient toutes les dérivées du premier et second ordre par rapport aux variables indépen-
dantes X1} %2;.... x, , la solution qui se réduit DO NUeUe le A0s e arJiet DOUCE UT PRE) de UN NT re)
(Supposons pour le moment que f, g, w et v soient continues et qu’elles aient des dérivées continues du premier et second ordre pour les valeurs considérées de x, ; #3; ....%x,).
Pour que le problème soit possible, il faut que pour
(2°) ME EEE AETALTECOREE on ait (2?) DRAICR Ga PRE nn CRUE A rare Nous nous servons à la suite des désignations suivantes: la surface x, — f (x,; %3;...x,,), RC = En nn) laicourhe (0e an CR) RS nt).
I1 faut, en outre, pour que le problème soit soluble que, à l’aide de (1) et des données aux limites, on puisse calculer toutes les dérivées du premier et du second ordre de la solu-
tion en chaque point de la courbe (2%). On a le long de la courbe
Ôz ; Ôz à ]
D NES PR 07 Ôz ; | A Co
1) En 1925 seulement, quand j'avais obtenu ce résultat, j'ai trouvé un mémoire de M. GUNTHER (Receuil math. de la société math. de Moscou, 1924) où il discute le problème de 1906 de M. GOURSAT pour l'équation à deux variables indépendantes. Son travail est d’un grand mérite parce qu'il ne demande pas nécessairement que les coefficients a, B,... soient réels. Sa méthode, qui n’est point identique à la mienne, ne s'étend pas au cas d’un nombre quelconque de variables indépendantes. M. GUNTHER n'a fait, du reste, aucune indication de généralisation de cette espèce. Ma méthode, par laquelle j'ai poursuivi le procédé classique de CAuUCHY et de M. GOURSAT, se généralise aisément, quand on a fait des recherches préparatives, pour n'importe quel nombre de variables indépendantes, et voila qui est intéressant, puisque LEVI a déjà achevé
le problème pour deux variables indépendantes.
Ôz Ôz
En éliminant 4 entre ces équations, on déduit En: On a en outre Le ;
dx ii: je 8.
Pour obtenir une seule valeur de il faut par conséquent que l'expression ci-dessus
0%; soit invariable quel que soit le nombre #. Il est facile de démontrer qu'il en est ainsi. Selon (2%) on peut regarder x, comme une fonction des autres variables, si
pe cu ee
Je fais donc abstraction du cas où les surfaces données sont tangentes le long de (2*)'). De (2) on obtient
; Ôx, : : dx, « Wu, dx, HUE x, Le
, Ôx; ; , 0x; .
1e ôx, <a Fe ne ôx, FE
d'où l’on tire le résultat désiré.
Nous allons maintenant déduire les dérivées du second ordre le Iong de (2°)
CRE Ô?z d?z 2 Ôz .
Det). = U”,: — 4 0x2 fs; de 0x dx, la; 3 0x2 Cu dx, LS LE Ps oz Oz 2 Ôz ne | 2 —— g, + A due Er T7 6x, Ôx, Éx Ôx2 #4 Da . . , Ôz . . Ô2z Ste s Ôz .
Ainsi on peut exprimer > ‘aussi bienique "à Nl'aiderdes#Æerideésquntitee dx; dx 0x, GE éjà connues, à savoir déjà connues, O " / [4 / [4 4 " 2 (3) Ô?z f ' Ô?z + Î x32 £ Xÿ SE, x? Î X; Ôz u x? £ X; re x? Î 7 € = o — 2 LS OX; 2 / / ü / / ?
ox, ÿ £ 0x mt 0x; Î PR Ôz " " " [4 U",.> — res — Ô2z il Ô2z il x? U x? dx; (7 x 2 & %2) / 7 Sr nn Pa) ne € X; X;. 2 / dx x, 2 i ÔX1 2 lénere des Ôz En remplaçant 5x dans le second membre de la deuxième équation par la valeur gl
déjà calculée et en posant
1) Ceci correspond au cas B du chap. I.
OLOF SJÔSTRAND
nes — GP; Fe A nt: CRETE 2) on aura 10 LR CR) + er 0%1 0%, RU FOX LAMPE:
Ôd2z Pour exprimer =, où 1 > 2, k > 2,1 = k, le long de (2) on a GE k
d2z dz d2z ®z Ôz a (2 / 4 " [4 … + re ral — 0Ye Pa nt ON 0%, la + ÔX1 0%, Pa À OL TON Fi %k 0x: EP 0e d?z d2z À2z . GES 4 # ——— gg —— o’ EN == — Ga PS À Su de, 8% À Gas 0, 8e On dm, ie D ue ) | Ô2z l 1 Ces deux équations donnent la même valeur pour Sr PE (En retranchant l’une FOX î k
Ô2z Ô2z ee tirées des
équation de l’autre et en portant les valeurs des dérivées APN
formules (3), dans le restant de la soustraction, on s'aperçoit que Îles termes contenant
DEA à De disparaissent) ôr, dr. Ôr; De 7 , - RE dr) ôx. — 2 (ee et” ox, 9
On peut facilement démontrer que cette équation est vraie le long de la courbe (2°)
Car le long de celle-ci
d’où l’on tire
et par conséquent,
dr Ôr, dx ox, Joe - OI or, , 07 84 lea Ôx, dx, 07, dr, dr, dr, À ERA) ROUE re / Let, 0” je / o’ VAUT 2 V a — (7 x d %; 0x, 1e (eo) z) Ôx, | (7 XR ee] “) Ôx, (7 Xk ee) Ôx.
I1 suffit donc de démontrer que le long de (2°)
: dr, ; À 07, (/ Xj TE £ z 0x, m7 (f Xk £ se) x; > ce qui est facile à vérifier.
| è 0?z On obtient donc l'expression suivante pour ES le long de (2°): % k Oz 1 Ô?z
où les termes exclus sont déjà connus.
RD al Ôx 2 +....,
Toutes les dérivées du second ordre le long de (2°) peuvent donc être considerées
O2 | comme des fonctions de 5x et m —2 variables par exemple x,; 4; ....%x, Si l'on ah porte ces dérivées (ainsi que les valeurs déjà connues de z et des dérivées du premier 0e ordre) dans (1). on peut en général obtenir 5x2 Comme une FONCTION AE FN Eee 1 ,
d’où l’on déduit les autres dérivées du second ordre selon les formules (3). Je précise encore. En partant d’un point déterminé: (x,),; (#2); ...(x,) sur (2°)
Ôx
pour lequel (2), et toutes les j sont connues, on obtient, si l’on porte les dérivées
Oz d2z (3) dans (1), une valeur de . et énsuite toutes lestautres LD TE 7 re 0x2 0 dx, x, ] 0 022 Ôz JUGÉE D COATVAÉE COMME UNEIONCHON AE dre LU un à 0% 07 x; mad AA TT è
est développable en série entière dans le voisinage de la multiplicité initiale, et que tel est aussi le cas pour les fonctions f, g, u, v. Je présume en outre que tous les coefficients dans
ces développements en série sont réels. On a donc:
” il | d2z ( d2z }| Ôz Ôz ep D”:
ba) FE De le te a ne 20) :-, nn |. 0.
Pour qu'il soit possible de déduire les dérivées du second ordre comme des fonctions
analytiques de %3 — (%3)0, . .. x, — (x,,)0 le long de (2°), il faut, si l’on pose
Î (Ka; 3, -.. 4m) — % m9 (Xi ; V2, X3, ... Xp)
g (X2; X3, -.. Xp) I. = (4 (x; ; Lo, 3, ... 4»),
dF 02z E : dix Do 0%
que (4) 2 dir (2 pe Le Fees .p, o = 0
OLOF SJÔSTRAND
Je fais abstraction du cas où cetie expression est zéro. S'il y a deux variables indépendantes, cela signifie que le rapport anharmonique des tangentes aux deux courbes données et des
tangentes caractéristiques, issues du point initial, est — 11).
3. Si la multiplicité initiale est placée sur une caractéristique D (x,; x,;...x,) —0,
il faut, comme on sait?), que
Ôx, x,
Comme le premier membre de cette équation est une forme quadratique par rapport o D
Ôx
linéaires de ces dérivées). Si les carrés sont au nombre de »# et sont joints par les mêmes
aux dérivées | , il peut s’écrire sous forme d’une somme algébrique de carrés de fonctions
signes, l'équation est dite du type elliptique. Alors o1 ne peut associer aucune caractéristique réelle à la multiplicité initiale. Si les carrés sont au nombre de # et joints de signes differents, l'équation est dite du type hyperbolique, et on peut trouver des caractéristiques réelles qui s'adaptent à la multiplicité initiale. Ki le nombre des carrés est inférieur à" l'équation est dite du type parabolique. Dans ce cas l'équation peut avoir des caractéristiques réelles, ou ne pas en avoir, si les carrés sont joints respectivement par des signes différents ou égaux.
Je fais maintenant un changement de variables
= tr de ds... An) oo (Mie las ce NT, és la Ent
dont tous les x deviennent des fonctions des &, puisque d’après les suppositions précédentes
RE TES La solution cherchée z se transforme donc en une fonction de &,; &,; &,; ...£&, qui DORE Die reduit a in és 06) et pourrie Dose réduit ae, agen)
La nouvelle multiplicité initiale
Ô2z Ôz RO rm LR TN 2 SORT RE RER CS ER ÔË, 06, 0 dé, 0
se calcule à l’aide de ces conditions et de l’équation transformée. Pour étudier la forme
de cette équation nous formons
Ôz ÔZ Ôz
dx; OË: P# dE; ee
1) Cf. GOURSAT: Annales de la Faculté des sciences de Toulouse 2:° série, t. V, p. 432. 2) Cf. BEUDON I. c. p. 115.
3) Cf. par exemple H. WEBER: Lehrbuch der Algebra I p. 212.
&2z 62z ô2z , Ô2z à Ô2z ; jus ôx, de —= dE? g . (2) a + OË, dE, (02 x (2 %2 “+ ÔË, ÔE (2 X2 (2 #1 2 dE? (4 #1 Y %2 o A Ainsi l'égalité
Les termes non écrits ne contiennent pas de dérivées du second ordre. symbolique suivante peut s’écrire Ô
ENNS0 É ; Ô (2 | de == 06, DRE ÔË, OR dE, (AE Es nd ÔË, QUE St ee
Ge
