MON

En général on remplace dans ia dérivée

Ôx, ‘ dx,

Ô 0 : Cha ES FD Dal DER NS EE LEE DR CEE Ô PET et par D UT 0 CE D

Pour l'équation transformée

1e (ET de EE — ne | rs 0

ri LOS 0E NES ie A

a ; à Ô2z Ô2z | Ô2z Ô?z | O2z Ô2z | es coefficients @, et c de SE — SE À DEL dE, — 5E, dE, ; et SE — dEZ ’

deviennent respectivement a = 2 ax (Pi) (Dodo b—Z2a; [Ro (V'ado + (P'aso (y Jo), C— 24; (p')0 (p',)0- Quand on forme, de façon ordinaire, l'équation d’une caractéristique D'(ÉURES" SRE) ESS)

de l'équation (1””) associée à la multiplicité initiale, on comprend aisément qu’elle s'obtient,

si dans (5) on remplace

Ô . Ô . 5 D 3 Le Le té 5 rm ee ï Ë lo nl re 17 LS par on (g x)0 Mine (y 20 de |: SL

On conçoit donc que le caractère elliptique, hyperbolique ou parabolique ne se change

pas par la transformation.

OLOF SJÔSTRAND

Si l’on pose

A On EU ES Lee) (00e. )péié Lea ë dE 0 on a pour &, —0, z —0 et pour £, —0,z —0. En outre, toutes les dérivées de z’ du premier et second ordre sont nulles au point initial. IJ,'équation (1”) se transforme par cette LS : EN dz" Osel OPA .

substitution en une autre où les coefficients de DEE * DE, ét je sont toujours a, b et c respectivement. Puisque D -= o d’après (4), on peut la résoudre par rapport à BTE RE et on a donc (après avoir rejeté l’accent et remplacé £ — (£), par &;)

nt Ô2z Ô2z Ô2z Ô?z Ôz Wu?) à À PES Du

des TO pese, + © Gen DE UE ET es

où H est une série entière sans terme constant, contenant toutes les dérivées du premier

Ô?z ordre, toutes les dérivées du second ordre à l'exception de TETE et où 1 2 OI MOREL MZ = 0 ; =} dE Jo dE Jo

Le problème que je dois résoudre est donc le suivant. Je cherche pour l'équation Pa 0e Dir lee Da lots 0) Enr LR M,

la solution qui se réduit à nulle pour x — 0 et pour y — 0. On a posé ici

Ô2z d2z Ô?z Oz d2z Oz oo Micros EE y? ” Pers © 5x ôx,” Pyr © dy Ôx,' Pen 0x, 0x,” Ôz Ôz Ôz nn ONE ôx,

F est nulle pour

LIFE Dep =t.s P,. =... = l=...=p,, =...= Pyé AE pe 500 = (Ÿ

et développable en série entière dans le voisinage de ces valeurs. En outre,

. Es à ôr lo … Orao

Tous les coefficients sont réels.

4. Il ressort de la démonstration qui va suivre qu’il est nécessaire d’élucider la

signification de la condition

(7) P—4ac> 0.

Si l'une des surfaces données (£, — o ou £, — 0) (je reprends ici les désignations du $ 3) est une caractéristique ou tangente à une caractéristique, on a a — 0 ou c — 0, et par

conséquent la condition est remplie. Pour qu’elle soit remplie généralement, il faut que (8) CN ET re soit une forme décomposable en facteurs réels. On obtient le polynome (8) en posant dans (0) 2 ax x; X,

PS (g',.)0 és (#',)0-

Si (9) est une expression qui ne peut pas changer de signe, c’est-à-dire s1 l'équation est elliptique ou elliptiquement parabolique, (8) est de forme indécomposable et, par conséquent, la condition n'est pas remplie. Si (9) est une somme de carrés de fonctions linéaires

par rapport aux x, joints par des signes différents, on peut écrire s 2 = . À QE + dE Es + CP — (ME + bible + CE) — (42 EP + Vabrée + Cobd),

où les deux termes du second membre sont toujours positifs. Il est facile de se convaincre qu'il y a des valeurs des constantes telles que (8) devient décomposable, mais il y en a aussi de telles qui font de (8) une forme indécomposable. La condition que l'équation doit être hyperbolique ou hyperboliquement parabolique ne suffit donc pas pour que (7) soit remplie

(si le nombre des variables indépendantes n’est pas deux). 5. M. Goursar!) cherchait pour l'équation

ay+bst+ct—#F (x, y,2,p, à),

où a, b, c sont des fonctions de x et y, la solution qui se réduit à nulle quand x = 0 et quand y = 0°, I1 trouva que, st

BP Aac 0 (CASE) le problème est toujours soluble, mais st

BP—4ac<O (Cas B)

le problème n'est pas généralement soluble). Car si on considère le rapport anharmonique des tangentes aux deux courbes données et des tangentes caractéristiques au point initial 1) Cf. GoursaT 1. c (Annales de la Fac. de Sc. de Toulouse).

>) Je suppose le problème transformé de la même façon qu'au $ 5. ) M. GOURSAT ne fait qu'exemplifier cela (cf. 1. ec. p. 433).

OLOF SJÜSTRAND

47e 4 ac

— COS 2 © — "1 Sin 2 ©

Vi 4 ac

et St w est commensurable avec x, alors le problème est impossible ou indéterminé). Les conditions de possibilité concernant a, b, c, © sont textuellement les mêmes aussi

pour le problème plus général, posé à la fin du $. 3, fait que je vais démontrer dans l'exposé suivant.

6. D'abord je vais traiter le cas A. Dans l’équation (6) on peut, naturellement, poser b — 1. Je suppose ainsi

1 — 4 ac > 0.

Je présume d’abord que a et c sont du même signe?), disons que tous les deux sont négatifs®). Je remplace a et c par — a et — c, où a > 0, c > 0, et j'envisage, pour obtenir une série majorante pour la solution cherchée, l'équation

(10) RS D M 4 D y m m m A Dom 0 ds LD, > Due D.

= SA) Tes : er .

(4 R R 7 + m fi ai 2 p

‘ sa VX; Ê oi MEN. d 5;

Iio<a<l;0<B<1 et G une série majorante, de caractére ordinaire, relativement à F4). Je cherche une solution de (10) de la forme

A AU NU GA PV UT Au Er ET

S'il y en a une, elle doit satisfaire à l'équation

du?

a +ab—0f ) Le cas où b?—4 ac — o est indiscutable selon la méthode ici employée (cf. p. 50). ”\ M. GOURSAT a traité ce cas pour une équation à deux variables (cf. $1). Néanmoins, je l’étudie à fond d’après ma propre méthode, puisque les resultats obtenus sont le fondement de la discussion suivante. 3) Le cas où tous les deux sont positifs se traite sans difficulté si l'en s’appu.e sur le resultat qu'on va obtenir.

4), Cf. GOURSAT: Lecons. -. t. II p. 306.

EL u Ôz Ôz ent De PART en m (m+ 1) ei am Oz | = SU S

afp

Bm 2 || a + f2 3 R Ôuôv :

Je transcris

a? Led C aëtap—ep ap (à ee Se à =.

(03 il il Se ne a 1 TIRE RRRRAREE ap fe À Visa) | Eee T2a Vi 4x)

On peut toujours choisir les nombres a et f de telle façon que

il l Aie a il 1 MR ee ere Vente Re Ve Alors A=—a8+af—cf>0.

En outre, a+ fe hoibes > 0.

I//équation peut s’écrire sous la forme

À SE — (4 B + M PB?) Fe — M w Ôz Ôz me ei Ant Eee S m (m +1) dz am Oz Pin dz ge 0 ss a joe) (es)

Cette équation a une solution et une seule qui pour # — 0 se réduit à zéro et pour laquelle

Ôz dz

en outre —— —0 et |] — 01). On obtient donc une solution holomorphe de (10) du du |

sous la forme

(11) z=W(cu+cu+tcsm+cuv+c;v+. à),

et on trouve facilement que fous les coefficients c;; c,; ... sont positifs.

1) Cf. par exemple GOURSAT: Cours d'Analyse t. III. p. 47.

CLOF SJÔSTRAND

On calcule à l’aide de (11) les valeurs de toutes les dérivées

(12) ( RÉFRNU E fm), et ( Re M pe

En 4m y #1 ; Celles-ci sont, d’ailleurs, nulles si À — 0 ou si À — 1 et, de plus (7), — ()o — 0. En outre, elles sont toutes positives ou nulles et, par conséquent, superieures aux dérivées correspondantes de la solution cherchée de l'équation (6), lesquelles sont toutes nulles. A l’aide des dérivées (12) toutes les autres dérivées de (11) à l’origine peuvent se calculer. On a d’abord (Sr 0

et en prenant les dérivées par rapport à x,; x,; ...x,on déduit toutes les dérivées k R, (D. NE Xyn M) ge En différentiant par rapport à x et à y respectivement on aura dG 2 1 —C = —— +4 Do, 1 ? 12 dx fe Pa, 0

da G nn PESTE Pr FT Le 3

Lo]

Comme les dérivées par rapport à x et y sont celles qui reviennent le plus souvent, je pose dans un but de simplification Petit rVe Par out Dans (13’) on a d G dG dG G ÔG ee pr pe MN MEN Ces impr cu OT Les termes non- écrits renferment des dérivées qui par rapport à x et y sont du deuxième

ordre tout au plus, c’est-à-dire ils sont déjà calculés à l’origine. Une forme analogue

Tr dG EE a à Me s'obtient pour cr Puisque lle 0, le second membre de chaque eéqua-

tion (13’) ne contient que des dérivées déjà connues à l’origine, et on peut à l’aide de cestéquations calculer (D:,.), et (9:,-2)0. Je transcris (137

Ô G ÔG RTS Pole, D1,2 + 430 + ee

ù G dG

| | up: ne PAPER IE EME Do, 8 + Cho, 3 Moses

Les termes non-écrits renferment des dérivées qui par rapport à x et y sont du deuxième

ordre tout au plus. En différentiant les équations par rapport à x; on aura

dG ut NN EE Pi, 2, NE D, 1, x; xs Es Po, », x; + € Po, 3, x; oc

Les termes non-écrits contiennent des dérivées qui par rapport à x et v sont du deuxième ordre tout au plus, et les dérivées D3 6; Pa 13 Pa, 2: Po, 3 Ajà connues à l’origine. A ce point les deuxièmes membres ne renferment que des dérivées déjà calculées. On peut ainsi déduire (p2 1,,)0; (Pa, 2, A0 OU i <m. En différentiant par rapport à x, on

aura

0 G dG Pas, 2 UD. ER ET P3, 0, 2 NU Ôt RE) is mt 4P3,0, #3 mt Per

dG 0 G No = DT l —4P> PE Ge Pi. Ps RE ôy P2, 1 “ ôt Po, 8, x; #E 0 C Po, 3, 4j ar "Etes Les termes non-écrits renferment des dérivées déjà calculées à l’origine. On peut ainsi

de proche en proche déduire toutes les dérivées

(P2: Fe pe DD De, Em) 0 È (Pi. 2: . Sos Fm).

Xyn m

En différentiant (13’) par rapport à x et y on aura

[ oG 5G

| PET Ces FE y Pao sr Dr 2+F4Paot::.:

DR Ni. cha he ne

| DL D 2 18 ô7 Doi y 1 dretcre

| ÔG 0 G

| — Pas + Poe Pas ER Po at ECPoat....

Les termes non-écrits contiennent des dérivées qui par rapport à x et y sont du troisième ordre tout au plus, cést-a-dire déjà calculées à l’origine. De (13?) on déduit (p3 1)o

(P2 20» (Pi, 3)o et puis en différentiant par rapport à x, ; ....; x

(Ps. 1. 14 Do A0, im) ; (P2. 2 Fe és po" 6 À (Pa, 3. . SNS Em).

mm D'une façon générale les dérivées

(P; 1 SAN AE > im) , (P; à, 2, se D UE Im), JR LOSC CEE (Pa, 3. ne Cr Em),

s’obtiennent des équations

[ Pi or Peie eur | me Gp D Re CV,E 8 Ho dit (1351) nn 0: MAO | M Sn D 0 ( Pr ser PDe ame Dpo ou directement ou en différentiant par rapport à x,; ....x,. Les termes non- écrits ne

contiennent que des dérivées qui sont déjà connues à l’origine. On observe donc que les

seconds membres sont des polynomes qui renferment a, c, les coefficients de G et des dérivées

OLOF SJÔSTRAND

déja calculées ou données à l'origine.

par le signe +.

A l’aide des dérivées (12) et des équations (13) on peut par conséquent calculer toutes les autres dérivées de la solution (11) à l’origine.

Les teymes de ces polynomes sont toujours joints

De cette façon on obtient donc les coefficients d'une Série convergente, car la série trouvée n’est aucune autre que (11).

7. Pour des raisons qu’on va concevoir j'étudierai le déterminant

1, — 06, —— 4, 1, —c — 4, 1, —c — 4, 1 —c —- à il

(: lignes et : colonnes).

Si l’on pose ac — q, on aura

THE GAP Co A à GA De Q, LR g 1

(: lignes et 2 colonnes).

Dans le but d'étudier l’ordre de grandeur de D,, j'envisage le déterminant

LR D: 12 iE, 1—0Q, If q;, 1 # q » 1 :

q 7 EX 7 1 1 Pal L'AL q 1 Cr il; il, g 1, 1—Q q (0) 1:

On en conclut que D'ARTS ON ERIC) EURO) UE 007 où

er Set ER es Qi= 9; ne uone Sen, ES en

Si l'on suppose que

him. Q, = Q à —> D existe, on aura q AS LC Fran GEST 1e

Pour que la limite Q existe, il faut donc que qg < Pr condition qui est remplie dans le

ca cm0

Qi <Q2:< PR tee RE 1 nt L l Car 00 ec esradene en 10e AO RED UE ES c'est-à-dire ner Nr le 3:

I1 s'ensuit à son tour que

OLOF SJÜSTRAND

Q2 < O: ee q q q 4 1 C ta TE — —= .

ar Q3 lee Otet 0 Te < :

] ER en On aura donc ONCE ENO RTE ONE re Q, tend donc vers une limite < 2’ et par conséquent lim Q sa — DE EE | 2 4 FR

On peut en conclure que D, esé toujours positif et que

HR E=—I0; À —3 Je forme maintenant un déterminant constitué par D, et D, posés diagonalement

l'un après l’autre

1, —c == 6} ile ET, De 1, — c DR Re de eu es SRE AE 1, —c — 4 1 le RE —— À, il

En se servant de cette nouvelle désignation on aura

(15) DA ue DAT?

pour chaque # > 2 et chaque # > 2.

Si dans D, on remplace le nombre (0, 1,— 4, — c) qui se trouve dans la #,"”" ligne et dans la #°"* colonne par 1, et si l’on met tous les autres éléments de la même ligne — 0, on obtient un déterminant que nous désignons 4,,.,. Ce déterminant s'obtient en multipliant par (—1)"—1+#—1 je déterminant qu’on a en effaçant dans D, la m,”"* ligne

et la n°"* colonne, à savoir (supposons par exemple "m1, > n)

== @ | — 4, 1, —c — 4, 1, —c — à, 20, — 4, 1e == CERN — 4, Ile CG She — 4, 15 ao C mi" ligne Te. Le é 22 pe 1, —c — 4, 1, —c 4 il

ième

n colonne

Après avoir fait un nombre pair de permutations cycliques de lignes et de colonnes on obtient

Sr == 22 PC — 4, 1, —c | Lee — 4, 1, —c | le — 4, 1, .

1, — c | — 4, 1, —c — 4, IRET 3 — 4, — 1] | — — Re RON = Des MS RE DES : DR On voit que le terme du déterminant qui contient — a (au coin droit d’en haut) en facteur s'évanouit. Aïnsi (16’) CU Um Mn

Pour qu'il soit permis de se servir de la formule (16’), il faut non seulement que 1, >% mais aussi que

REIS à 1— mm; > 2.

Il est ainsi nécessaire que 1 > 5. Si 2 < 5, il faut faire un examen spécial, de même

si 1> 5 et en même temps # < 3 ou 1 —m,<2. On trouve en posant

DD que la formule (16’) est vraie aussi dans ces cas. analogue que

Il est facile de prouver par un calcul

D an — Me Amin = 4 DÉSEDEE" (Ma € n).

OLOF SJÜSTRAND

On obtient donc le résultat que tous les mineurs du premier ordre de D, sont positifs.

8. Maintenant je retourne au calcul des dérivées à l’origine pour la solution (11) de l'équation (10) à l’aide des dérivées (12), qui sont toutes positives ou nulles. Le calcul se faisait successivement à l’aide des équations (13). On obtient chaque dérivée comme une fonction linéaire des seconds membres de ces équations. Les coefficients sont de la forme

et par conséquent positifs. Il s'ensuit que chaque dérivée à l'origine est un polynome renfermant a, ©, les coefficients de G et des dérivées déjà calculées ou données. Les termes du polynome ne sont joints que par le signe +. Si on cherche /a solution de (6) qui se réduit à nulle pour x — 0 et pour y — 0, on voit de proche en proche que les valeurs absolues des dérivées à l’origine sont inférieures aux dérivées correspondantes de (11): Il est donc établi qu'il existe une solution et une seule au voisinage de l’origine.

Peut-on faire la même conclusion si a aussi bien que c changent de signe sans changer de valeur absolue? Dans ce cas les déterminants D, ont les mêmes valeurs et les mineurs AÀ,,.n ont les mêmes valeurs absolues. Ia convergence de la solution cherchée s'établit exactement de la même façon que tout à l’heure. Il nous reste de traiter le cas où à éé c ont des signes différents. Pour fixer les idées, posons a = 4, c = —&, où 4 > 0, C > 0. J'étudie maintenant aussi les déterminants D, et À lesquels je désigne par D, et À

m, n? mn

pour les distinguer des déterminants correspondants précédents.

On calcule d’abord les dérivées à l’origine de la solution cherchée de l'équation (RE GS CNY, TC. Pi et)

qui se réduit à nulle pour x — 0 et pour y — 0. On voit alors que les termes contenant a et & aux seconds membres des équations (13) s’évanouissent. On compare ces dérivées aux dérivées correspondantes de la solution (11) de l'équation (10). On voit ainsi que (11) s'obtient comme série majorante pour la solution cherchée de (6’), s1, & et C étant donnés, on

peut trouver deux nombres a et c qui remplissent la condition À, de façon que

Mi —N 7 M — HN C De D, C LEE

| s1— m2 7) at n — M2 a Dre a D . D

1— mn Ma — 1 ee D Mt C0 D; Î

(5) MDN;

9. Avant de discuter les inégalités (17) j'étudierai les déterminants D, On pose

ac—ÿ et obtient, en se référant à (14),

D De

Gi

De la même façon, en se référant à (15), on a pour m>2, n>2

(15°) D n — De : D - Puisque les nombres D: sont croissants avec l'indice 2, on aura (18) D SD AUDe

pour toutes les nombres de "1 et n, et puisque les nombres Q; sont aussi croissants, on a de même