Chapitre I

1. M. GoURSAT a trouvé la solution d’une équation hyperbolique aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes, quand les valeurs de la solution sont données sur deux courbes se rencontrant à un point et situées dans le même angle des caractéristiques ayant pour sommet le point en question!) M. HADAMARD a résolu le problème de M. GOURSAT pour une équation linéaire en se servant de la méthode de RIEMANN?). Aucun de ces auteurs, cependant, ne permet que les courbes forment un point de rebroussement. Outre cela, les tangentes caractéristiques ne sont pas admises au point où les courbes se traversent*). Or, ce sont ces cas non traités qui seront l’objet de nos recherches. Pour démontrer l'existence de la solution, nous allons suivre une méthode employée pour le cas ordinaire par M. HOLMGREN dans ses cours traitant du problème de M. GOURSAT (en 1919), et où il part des intégrales suivantes:{)

LA

p(a)z(x, v,a,1(0)da; EC ET

où x — u (y); y —À(x) est l'équation d’une courbe arbitraire, z (x, y, &, 7) la fonction de RIEMANN (solution de l'équation (1) par rapport à x et y), g (a), y (B) des fonctions continues

arbitraires. Il est facile de démontrer que ces intégrales satisfont à l'équation

Ô? z Ôz ÔZ

ôx dy + a (x, 7) se Mer ne (NEO