PE

Quant à la manière dont les courbes se rencontrent on peut distinguer entre trois cas

principaux:

1) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2° série, t. VI, 1904. Quand l'une des courbes est située dans deux angles opposés des caractéristiques, l’autre dans les deux angles adjacents, le problème est traité par M. PICONE: Rendiconti del circolo matematico di Palermo, t. XXI p. 133. Par sa méthode (des équations intégrales) M. PICONE se voit obligé d'introduire quelques conditions non nécessaires.

2) Bulletin de la Société mathématique de France t. XXXII, 1904. Au cours de cette étude nous nous servirons de la lettre H. pour désigner ce mémoire.

PRCMCOUROATMECR DAT ED 20

4) LE Roux est le premier à qui on doit des intégrales de ce type, appelées par lui des intégrales principales. Cf. Annales de l'Éc. norm. sup., série 3, T. 12 p. 239.

A. Les courbes ont des tangentes différentes non-caractéristiques (cas ordinaire). Les courbes ont la même tangente, non-caractéristique. C. June des courbes (par ex. celle d'en haut) a une tangente caractéristique.

Tous les autres cas se transforment facilement en un de ceux-ci). Nous allons donc

démontrer l'existence d’une intégrale cherchée pour les cas B et €.

2. Nous considérons donc deux courbes AB et AC dans le même angle des caractéri-

stiques. Que leurs équations soient

(AC) y =À (x); x = ju (v); (AB) y=h(x); x = pay). (CE fig. 1).

Nous cherchons une solution de (1) qui se réduise sur AC à une fonction continue f (x), et sur AB à une fonction continue g (y). Pour qu’une telle solution soit possible, il faut que f (0) — g (0). En outre, nous supposons que les fonctions f (x) et g (y) puissent s’écrire

sous la forme (2)

où 1 (0), f'1 (0), g1 (0), g1° (o) ont des valeurs déterminées.

D'après M. HOLMGREN nous écrivons l'intégrale x y (3) Z (9 = FC) 2 (30,0) + [op (9 2 ps, 2 (9) de + | w (0 2 6 9 74 (0,0 dt 2 (y) À (x) Il faut déterminer et y de telle manière que l'intégrale (3) prenne sur BAC les

valeurs données,

Pour y =") on ar

Ce A Et oo 0) ee | p (s) z (x, À (x), 5, À (s)) ds, où a (x) — u, (4 (x) }, a (x) 1) Cf. HOLMGREN, Arkiv fôr Matematik, t. XIV, 1920 D 271:

OLOF SJÔSTRAND

pour x — 3 (y)

(4) g(y) = 7 (o) z (ua (y), y, 0, o) + 1 p () 2 (2 (y), y, 21 (9,8) dé, où B (y) = À (ua (y) ): BP) Soit o le moindre des nombres 0, et 0, si l’un deux est inférieur à un, et dans les autres cas égal à un. Cela nous donne

(5°) f (x) — f (0) z (x, À (x), 0, 0) = x°..F (x) (5”) 8 (y) — f (0) z (2 (y), y, 0, 0) = y°. G (y); o Ke <1, où F (0) et G (o) ont des valeurs déterminées (dans le cas B aussi bien qu’en C). 3. Traitons d’abord le cas B et étudions la forme de a (x). Parce que a (x) — u, (À, (x)), ou conclut que a’ (x) — y’: (4, (x)).47, (x).-et par conséquent, on a a” (0). = 1. Posons donc a (x) ie HONNEUR CS

où © estunentier positif > 0; p (0) >0; g(o) > 0 et p’ (0), q’ (o) ont des valeurs déterminées.) On comprend que les deux équations (4) sont analogues. Considérons seulement Péquation (4) "Noûs posons z(%, 4 (x):5, 2: (S))=H (xs), d'où

(7) Hi No Sd = era)

a. (x) Nous trouvons

DNA NM A INC EET DE tar ie ReT

NU) p (£) = x9 +1 p (x) Tai (x, £) 6 l Fe ER He 0 11 eSt de d'écrire Puisque D a) pour x o, il est commode d’é ; XPENX) (8) | POST ren Par suite À sPË (s) (x, s) Fo ASE RC).

a(x) x1+0 Dérivons et multiplions par FA) H (x,a(x x \1F9 d FH, (x,s) { x \'+2 x E (x) — es D (Ci) a WW) E (+ [re “A SRCShAS— u a(x) :

ee o F (x) ue (x)

1) Cf. HOLMGREN I. c. p. 16.

Posons (Aero) lH(&x,a(x)) tete | ee Ale (9) ONE AU Mere MR | oF (x) +xF'(x) On comprend que > (x), K (x, s) et L (x) sont des fonctions bornéest), et on obtient (10) EC — y (x) (a (x)) + ÜK (x, 9) E (s) ds = 2010 L (n). a(x)

4. Nous allons maintenant discuter la forme de y (x). On a, à cause du caractère

de la fonction de RIEMANN, l'inégalité suivante:

ee. re ME de +M;(x— a (x)), dont on peut se convaincre aisément. On a en outre Se p' (3)

Ne I (+0) x0p (x) — xt p (x) l—(+9)# pt ( (x) — A rp (G)e L Che 1—(1+9)x°9 (x)

On conçoit qu'aux environs de x — 0

(ap (jte

1— (1 + 9) x£ p (x) 40 d’où pour x < x, Lie ne p' (x) 6 crc a (x) | (+9 #pt 7 POP 6) Comme ES > a) Pour 0;

PHU-(+9)29p()) p (0) on aura pour x € X,, < X, une inégalité de la forme ë x \1+0 (5) Q'(x) L1+M,;(x— a(x)), et nous en tirons (1) 7 G)|<14+M x — (0).

7) On voit facilement que z{x, y, s, {) et ses dérivées partielles par rapport à x, y, s, { sont bornées dans le domaine considéré. Cf. par exemple Goursar: Cours d'Analyse t. III $ 494.

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