Chapitre IV

1. Naturellement il serait à désirer que le même problème qu'au chapitre précédent fût traité pour une équation d’une forme plus générale et pour des courbes quelconques, en Supposant seulement les fonctions données continues. Ce n’est que M. CoLoMBo qui ait

fait une généralisation de cette nature!). Il trouva pour l'équation

Î O3 z oz dx? dy TE dx dy? = } (x, MAS DA SL)

où a est un constant réel, la solution qui prend des valeurs données sur deux caractéristiques et sur une troisième courbe passant par le point d’intersection de ces caractéristiques. Alors il ne faut plus que cette courbe soit une ligne droite. Si la courbe est identique à la troisième caractéristique, le problème est impossible. Je vais maintenant traiter le même problème pour le cas où a n’est plus un constant mais une fonction de x et y. Bien entendu, on peut supposer le second membre linéaire par rapport à z et ses dérivées partielles puisque le cas général, sous les conditions de LIPSCHITZ, n'offre pas de difficultés plus grandes. Con-

sidérons alors l'équation

; O8 z Oz (2) (2) — D 0 D a (x, y) EP ni =} (2) + e (x y), où

z OR ® z Ôz Ôz

F (2) = bo 52 + Ou H Dos on Tao 5e ou 3 + de.

ox dy.

Tous les coefficients à, b,c,d et e sont supposés continus ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre?). Je cherche la solution de l'équation (2) continue ainsi que les dérivées partielles jusqu’à troisième ordre et qui se réduit à nul sur l'axe des x, des y et sur une courbe donnée

passant par l'origine. Cette courbe n’est rencontrée qu’en un point par une caractéristique

1) M. CoLoMBO a résumé ses résultats dans Rendiconti della Acc. dei Lincei V. 33, 2° semestre, p. 156.

2?) Pour a je vais faire plus tard encore des suppositions (voir $ 8).

OLOF SJÜSTRAND

quelconque. La fonction a{x) est supposée continue ainsi que ses dérivées jusqu'au troisième ordre. Pour fixer les idées présumons en outre que

ci Le 40).

Désignons par

= sx) la solution de l'équation D at) qui se réduit à { pour x —0. Nous en tirons t— f(x, y).

Considérons un domaine 1’ limité par les axes des coordonnées et la courbe Y = 8% Ëm),

et à l'intérieur duquel a (x, y) est supposée positive. Toutes les courbes de g sont donc dé-

croissantes à l’intérieur de /’. Qu’elles ne peuvent pas se traverser entre elles est un fait

bien connu.

Supposons en outre que les fonctions g et f ont certaines dérivées partielles continues à lintérieurider®):

2. Je vais maintenant résoudre le problème à l’aide des approximations successives

en posant

où

Toutes les fonctions 7, doivent remplir les conditions données aux limites. On conçoit aisément que ce procédé nous donne une solution de l'équation (2) qui est continue à l’intérieur de /” ainsi que ses dérivées partielles jusqu’au troisième ordre si Z' est choisi assez petit et si l’on peut démontrer le {héorème suivant:

S? G(x, y), G’,(x, y), G’,(x, y) sont continues à l'intérieur de T'et remplissent les inégalités

4) | G(x, y) | < MP,

GC) AIG REMEE on peut trouver une solution de l'équation 5) ARNO EEE)

1) Les autres cas ne nous causent pas de difficultés plus grandes, ?) Ces suppositions seront précisées plus tard.

OLOF SJÔSTRAND

qui existe à l’intérieur de T° et qui remplit les conditions données aux limites. En outre, cette solution est continue ainsi que ses dérivées jusqu'au troisième ordre, et satisfait aux inégalités

où le constant K est indépendant de p.

Remarque: Si