Il nous reste donc de démontrer que l'équation

(10) L pt a()))g EH al))) dE — T'wif(é, 0) 8°, (E, HE, 0)) dé — — jar Pate (ED) 4€ = F0,

où F(x), comme je viens de le dire, remplit les inégalités (7), a une solution y (f), continue aussi bien que ses dérivées du premier et du second ordre quand #<#,,, et remplissant les inégalités (9). Si nous appelons par x,, l’abscisse du point d’intersection entre y — a(x) et y = £g(x, ty), l'équation doit être satisfaite pour 0<x<%xy.

Puisque F (0) — 0 et aussi le premier membre de l'équation (10) est nul pour x — 0, il suffit de résoudre l'équation que l’on obtient en différentiant par rapport à x les deux membres de l'équation (10), à savoir

pÜf(x, aix) g',(x, f(x, a(x))) — p(f(x,0)) g';(x, f(x, 0)) +

x 1(x, a(x)) “ j p'(H(E, a (x))) fac (E,a(x)) a (x)g” (E, FE, a(x))) dE — À (8) g/'e(x, 8) dé = F'(x).

1) Pour qu'il soit permis de former ces dérivées, il faut que 4/2 (x, y), a°”’sy2 (x, y), ga (at), 8 (x, 0), 24 224 2444 x22(#, t), £

sn (ad, 8 uelx, td), gx, à), & soient continues.

LL oo!!!

48060, gard, Plate, V), Paye Y) Pye V) Paye (29)

Selon (8) on peut simplifier la première intégrale, et ensuite l'intégrer par parties.

posant

= As) a’(x B(x) FOat) CE — a'(x) f'e2(é, a(x)) FE at — ? P# del ca = E(EX), on aura l'équation F”(x) (11) p(I(x.a(x))) — A (x) y(f(x, 0)) — B(x) y(F(0, a(x))) — dE x fx, a(x)) me D(E, x) p{f(é, a(x))) re x) p(£) dé.

Toutes les fonctions À,B, D, E et sont continues pour

(12) | OLK< Xp,

car on a 8’; (0, f(0, y)) = 1; g’;(0, f(0, 0)) = 1, d’où selon (8)

et par conséquent

On trouve donc que

a A9 = + (x) où €, (0) — 0, et de la même manière a Bd = + ex), f (x, 0) a

fe ct)

OLOF SJÔSTRAND

f (0, a (x)) a bac)" aa

Si l'on a choisi le domaine l’ assez petit, on a à l’intérieur de l'intervalle (12)

[io V | |ffOamh. | ( AC (en DORA

En outre,

EE A) | kS.

Faisons la substitution

(13) pO=R tu, par laquelle l'équation (11) se transforme en F”(x) GITE AC) TE 1, a (2)

| D, (£,x) HUF (E, a (x)) dé + SES(E, x) ue (6) dé,

où AW |+BG|<A,

E(x) | Le MK,k,, [selon (7)], CaLieampes | dan

LEE x) LR.

6. On peut résoudre l'équation (14) par des approximations successives en posant

HG =m (++... +u,(b+....,

Lu (f(x, à (x))) — À; (x) a (f (x, 0)) — B; (x) eu (f (0, a (x))) = CL}, ax) P + 2 »

LU = — Îp, (£, x) zu (f (6, a (x))) dé + j Re

x 1 (x, à (x)) = —ÎD, (8,2) 2, (f (6 a (x) dé + JE (6, x) u, 1 (8) dé,

Le second membre de la première équation est continu dans l'intervalle (12). SuUppo-

sons que l’on peut obtenir de cette équation une solution y, (4) continue pour

(12°) Fe | b< (nr Am) - Ainsi on a, pour déterminer w,(f), une équation similaire dont le second membre est

continu dans (12) etc.

Pour résoudre la première des équations (16), posons

pu (6) = 0) Æ RÉ. 2 EP Eee, où F’(x) C{x) L(x, a(x)) P Ÿ?

ue (f(x, a (x))) = À: (x) m0 (f (x, 0)) + B;(x) HA OAGACO IE

pau (fa, a ()) = Aa (9 au D (fe, 0) + Ba (a) pal D (F(O, a (x) »

Toutes les u (/(f(x, a(x))) sont continues dans l’intervalle (12). Selon (15) on a m0 (F(x, a(x))) | <MK;k3, P(F(x, ax) | <MKik3ks,

m0 (f(x, a(x))) | MK RE, kite,

Par conséquent u,({) est une fonction continue dans (12’) qui satisfait à l'inégalité

MK, ka Lau a)

De la même manière on aura

MK, ke ko xl (1—k;)"

|4, (FC, a(x))) | <

Cette série est uniformément convergente dans (12’) si l’on a choisi le domaine l' assez petit. Alors on a d’après (13) obtenu une solution y(f) continue dans L' et remplissant une inégalité de la forme (9), où X, est indépendant de p.

OLOF SJÜSTRAND

7. Je vais maintenant démontrer l'existence de y’(f). En différentiant l'équation (11), on obtient |

P'(x, a(x))) — Asfx) p'(f(x, 0)) — Bs(x)p'(f(0, a(x))) = Ca(x) =) D, (6, x) p'(J(E, a(x))) dé). Ici 43, B, et D, ne dépendent que des fonctions f, g, et a. En outre, C; dépend de y, F” F7”. Elles sont toutes continues dans l'intervalle (12), et on a

f(x, 0) (0, a(x fau 0 +) LRU < A En ee | [f(x, a(x))P +2 | ; 1R2) |Di(E,2) |< Re.

On en obtient de la même manière qu’au paragraphe précédent une solution y’({) continue dans 7”, et remplissant une inégalité de la forme (9). Par un calcul facile on se convainc que cette fonction y’({) est réellement la dérivée de la fonction y(f) que nous venons d'obtenir. |, Da © mr

De la même manière on aura une fonction y’’({) continue dans ”, et remplissant (9)?). Aïnsi l'existence de la solution cherchée de l'équation (2) est demontrée. On prouve dela

manière usuelle que cette solution est la seule possible.

8. Pour que la démonstration précédente soit valable, il faut donc que

(17) 4; a te: a a” 5 CAES ET LT ES RS L ITA VI : o :

(18) SR I AN NN D ME ET TU s . VAT gs Va (24 . AV. A 144 A 244 . 44 . YA. . JII/ (19) IE 19e 14 Î x? Î xy? Î y2? Î 2 À 4?y° Î xy?? Î 22y?

soient continues. Pour l'existence des dérivées (18) et (19) il faut que (17) aussi bien que

a’, et a°””, soient continues). Il en resulte finalement qu'il est nécessaire que

, LR ANR AT 4 4; ay 4 ,» 4