CID

Ici Es : re sont prises le long de la courbe 7° (Cf. fig. 2). De la même manière, on obtient ne : dd dy MN [tan de F . Ôx au : dx Ôy dx Cr Ôx T xd LE

dy dy ; = ; Re

où PACE pr sont prises le long de la courbe 7. (Cf. fig. 3). Soit P’,;, un point quel-

conque dans le domaine d'existence de w,,. D'après (20) on obtient (Cf. fig. 6)

(1) ee oKe (ie) or) 2 19 dy Ho di

où (À) est une quantité bornée pour tous les : quelle que soit la position de P’,, dans le

domaine (on observe que (Se

| est bornée pour tous les 7 soit qu'il s'agisse des cas Bio:

A, B ou C). Or, selon la façon dont on a formé les y, on a

(ne) (ie). fé). ne) dy Flog “y Po; 1 % Prog dy P'oi 1 D Pi 1.

I1 s'ensuit que

Po. ta "i bdë [ax ÔPa ir Fa. ve Cf 2 Se Ee — + (k:2), Ôy Ro, dy VE) 0x 1e

# Pai-s

où (k;) est du même caractère que (k,). D’après (20) on aura

P'o;2 Rad:

Paris P’ 1 ee CAPE dy Ke a “ RS : see Ôx Las € dx os er (R:) dx as ne (Ra).

dy Observons que AA est du caractère (k,) dans les cas À et B, mais non dans P'a;2

le cas C. Nous obtenons donc

242 ; (| ns Es Fe i—1 ar dy k — £ î = a res e ôy P'oi C5) Ke P'o;—2 de Poe oo Puisque dp2 il Æ dP2 i—2 =. ÔPz 9 dy ÔPo io ax P'o;0 # dx P'o;2 3 oy Do dx P'o; 2 à x Po; on aura P'o; 2 tn mr (] () | ee A ÔY Jp NE NE CHE ERA dv | pa C into dx PÉPo Sn

OLOF SJÔSTRAND

Il est évident que

d’où l’on tire

Hope lie) : ae dYp à le . ) 1 Re 09 Jp, dYp'; Ne 2i—2 FA * CU Po; dx Po; 0 Mais (À 6) (re 5) dY pr, “ É PAF) ps dypr. = ib) dx P'o; 9 dans tous les trois cas. On a donc P'o;»

P'ai 4 É NE STUMNE ns Po; | ie P'2ÿ 4 [ + +w)| co Dies dy Po; ‘ P'ei—a ô maille pu) de (is) co] dy P'o AV pr, ÔY Jp

On conclut immédiatement que

| ÔPos | dy; à dy CET AV pr | Q P'oi | A dy’; 2 dy 2% de :

où K est un nombre fixe indépendant de z et de la position de P’,;, dans le domaine d'existence de #,. De la même façon

Considérons un segment parallèle à l’axe des y à l’intérieur du domaine d'existence

de la fonction y,,. On obtient selon l'équation ci-dessus (cf. fig. 6):

M is.

} as = ne JR Ti 1

CHPLOHMA DOS = Vi VE = DC ls nemennAnere

dns RATE TEE PET) ROUES RCE

| 1} À Poi 9 | CORe Ti

4 d Pa | QUE

Posons maintenant

d’où l’on tire | f DORE ES EE EEE 0

13. Pour les cas À et € on comprend que la série Z y, est convergente, et que par i=0

conséquent | PA | a une limite supérieure indépendante de . Ceci n’est pas valable Ti

pour le cas B, où l’on a

++... += + re — 3 Dei Ve y£ V2 y°.

y Van VE Vent) > NE nt dn » DR rer | 2).

FOR OT HO ; ÿ id )

Périconeatentist ol, (1) [ad] < Ki (85) Et SO le

K° Ga RECTESSS Ti Vo

14. Passons maintenant à ia limite d'après la méthode de M. HADAMARD*). Nous

avons (cf. fig. 7.)

2) Cf. (6).

[No] LD

OLOF SJÔSTRAND

Ja Te On obtient 1 6 ve er 1 9. Î Er J AIS Î z au — 2 ete (Pa: 2)1 + T T il 1 ; bo Re 1)" (Yozss 2x — 2e Peu Lo:

Les termes qui doivent tendre vers zéro sont : p 1) (pu: 27 + (LP (perd + JS [a Uz dn — 2 dU]. k Puisque U croît au plus comme l'indice 7, on comprend sans difficulté que pour les’cas 4’ et C

B [ a Uz dn — 0 quand i—> %, À — 0.

On trouve facilement qu'il en est ainsi aussi dans le cas B. Ie segment By est de la

même grandeur que y,!*®. D’après un theorème de LÉMERAY?), on a en outre que

0 land 7 —> 00%).

1) H. $ $ 4, 5 et fig. 2.

2) Bulletin de la Société mathématique de France t. 23 p. 255. D'une façon plus directe que celle de LÉMERAY on peut démontrer que l'expression 3 y;2 est borneé. ACC (6):

En passant à la limite, il nous reste donc à regarder l'expression

B ee 1 (72/2) 1) CPE J z dU.

Nous posons dans l'intégrale z == z— x, +z,, et considérons d’abord IT (pes )r + CI (Pa pen x 24 j aU = T En Du ms eme NT NS

disparaître le terme p — j'(—32)4U.

Puisque

Of 1, e D’ D" ! (7 - y”),

il suffit de considérer

IN rie

Pour les cas À et C nn F5 Ôn

MED vante,

dn est bornée, et par conséquent

et d’après cela le passage à la limite a eu lieu pour ces deux cas. Pour le cas B la chose n'est pas aussi simple. Selon (15) sur l”, on a

l2—#\<M;yf. (e<1).

S'appuyant sur (21‘)}, on obtient, si 2 — 1, que

| À Ces 2,) AD Ti

<M,Y°.K, (— log y) — 0 quand 5 — 0e.

Sr 2 > 1, on ne peut pas réaliser le passage à la limite de cette façon. Posons dans ce cas 2 —2—72, +2,, après quoi il faut regarder

AL Ex a®".

D'après le $. 7 en observant que y, < 4 + 1°), on a sur Î', que | 21, | < ee Anisi

. 7) 2D 0 quand er sa 71